Representación de Lorentz en SL(2,C)SL(2,C)\mathrm{SL}(2, \mathbb C): forma explícita

Question

Representación de Lorentz en SL(2,C)SL(2,C)\mathrm{SL}(2, \mathbb C): forma explícita

charlie

Dado un vector de 4, siempre podemos definir una matriz hermítica de 2x2:

X = X^{m} σ_{m} = (\begin{matrix} X^{0} + X^{3} & X^{1} - i X^{2} \\ X^{1} + i X^{2} & X^{0} - X^{3} \end{matrix})

$X=x^\mu \sigma_\mu=\left(\matrix{x^0+x^3&x^1-ix^2\\x^1+ix^2&x^0-x^3} \right)$

Dónde $\sigma_i$ son solo las matrices de Pauli. En esta base, podemos definir las transformaciones de Lorentz como $\Lambda(L)$ , dónde $X'=LXL^\dagger$ . Esta representación forma la base del grupo lineal $\mathrm{SL}(2, \mathbb C)$ .

Sin embargo, tengo curiosidad sobre la expresión exacta de la $2\times 2$ matrices que representan estas transformaciones de Lorentz (no aparecen en la literatura).

He leído que se pueden caracterizar por solo 6 parámetros reales (lo que recuerda a los 6 parámetros para el $\mathrm{SO}(3)$ representación de Lorentz).

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/28505/2451

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Representación de Lorentz en SL(2,C)SL(2,C)\mathrm{SL}(2, \mathbb C): forma explícita

Federico Tomás · Answer 1

La mayor parte de la respuesta a la pregunta se puede encontrar en la respuesta de la publicación Representación $(1/2,1/2)$ del grupo Lorentz ,

Solo agrego algunos datos adicionales: La relación

L_{k}^{i} = \frac{1}{2} T r (A σ_{k} A^{†} {\tilde{σ}}^{i})

$L^i_k =\frac{1}{2} Tr( A \sigma_k A^\dagger \tilde{\sigma}^i)$

se puede invertir y como resultado obtenemos la matriz $A$ expresado por una transformación de Lorentz de 4 vectores $L^i_k$ :

A = \frac{1}{norte} L_{k}^{i} σ_{i} {\tilde{σ}}^{k}

$A =\frac{1}{N} L^i_k \sigma_i \tilde{\sigma}^k$

con $N$ :

norte = \pm \sqrt{d mi t (L_{k}^{i} σ_{i} {\tilde{σ}}^{k})}

$N =\pm \sqrt{det(L^i_k \sigma_i \tilde{\sigma}^k)}$

Spin representaciones como las de $SL(2,C)$ tienen doble valor, lo que explica ambos signos.

Muchas gracias. No encontré esa publicación antes, pero me dio la información que estaba buscando. Junto con su respuesta, fue muy útil comprender de dónde vienen los dos signos y, por lo tanto, por qué. $\Lambda(L)=\Lambda(-L)$ .

Representación de Lorentz en SL(2,C)SL(2,C)\mathrm{SL}(2, \mathbb C): forma explícita

charlie

qmecanico

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Federico Tomás

charlie

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