Diferencia entre "transformación de Lorentz" y "ortocrona propia"

Sus definiciones son, de hecho, aquellas para la transformación de Lorentz ortocrónica adecuada, no para las transformaciones de Lorentz generales, ¡es por eso que tiene problemas para diferenciar! (Si te hace sentir mejor, ayer un colega y yo estábamos tratando de depurar su configuración de prueba y pasaron dos horas de pruebas complejas antes de que los dos genios nos diéramos cuenta de que no habíamos encendido una parte clave del kit).

Una transformación general de Lorentz se define solo por el criterio 1) - es simplemente cualquier transformación lineal que conserva la forma cuadrática$t^2 - x^2 - y^2 - z^2$.

Las transformaciones ortocrónicas propias son aquellas que pertenecen a la componente conexa identidad $SO^+(1,\,3)$del grupo completo de Lorentz$O(1,\,3)$. Es decir, las transformaciones ortocrónicas propias son aquellas a las que se puede llegar desde el$4\times4$matriz de identidad siguiendo un camino continuo a través del grupo de Lorentz. De manera equivalente, son las matrices que están en caminos a través del grupo de Lorentz definido por la ecuación diferencial:

$$\begin{array}{lcl}\mathrm{d}_s L &=& (a_x(s)\, J_x + a_2(s)\, J_y+a_z(s)\, J_z + b_x(s)\, K_x + b_y(s)\, K_y+b_z(s)\, K_z)\,L\\L(0) &=& \mathrm{id}\end{array}\tag{1}$$

dónde$\mathrm{id}$es el$4\times 4$identidad,$a_j(s),\,b(s)$son funciones continuas del parámetro$s$y el$J_j,\,K_J$son seis matrices$4\times 4$que abarcan el álgebra de Lie del grupo de Lorentz, es decir , el espacio vectorial real de todas las "tangentes a la identidad" posibles, es decir , todos los valores posibles de$\mathrm{d}_s L|_{s=0}$. Un conjunto posible es:

$$\begin{array}{lcllcllcl}J_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\end{array}\right)&J_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{array}\right)&J_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)\\K_x&=&\left(\begin{array}{cccc}0&10&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_y&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)&K_z&=&\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{array}\right)\end{array}\tag{2}$$

(Mira cómo el$J_j$son sesgados-hermitianos, por lo tanto tienen valores propios imaginarios puros, de modo que$\exp(a_j\, J_j)$tiene cosas como$\sin,\,\cos$de un ángulo y es una matriz de rotación, mientras que la$K_j$son hermíticos, con valores propios puramente reales, de modo que$\exp(b_j\, K_j)$tiene cosas como$\sinh,\,\cosh$de una rapidez y es una matriz de impulso puro).

Una descripción intuitiva: imagina que estás sentado en la consola del "hiperimpulsor" de tu nave espacial: tiene dos bolas de seguimiento, cada una con sus propias palancas marcadas como "giro" y "impulso" y un conjunto de acelerómetros: lineal y rotacional. Su nave espacial se mueve inicialmente por inercia. Gira las bolas de seguimiento para establecer el eje de rotación y la dirección de impulso respectivamente. Cuando tira de las palancas, la palanca de giro acelera la velocidad angular sobre el eje de rotación, la palanca de impulso acelera la velocidad lineal en la dirección de impulso. Dicho de otro modo, el trackball de "rotación" y su palanca establecen los pesos de superposición$a_j(s)$del$J_j$en (1) cuando usamos las definiciones en (2) y el trackball "boost" y su palanca establecen los pesos$b_j$del$K_k$. Pasas por una secuencia de control, que termina de modo que tus acelerómetros no indiquen nada, de modo que ahora un conjunto de$x,\,y,\,z$Los ejes adjuntos a su nave espacial se mueven inercialmente en relación con el marco inicial. Las transformaciones ortocrónicas adecuadas son precisamente todas las transformaciones entre el marco inicial y un marco inercial que puede alcanzar con sus controles .

Sin embargo, hay otras transformaciones posibles que conservan la forma cuadrática$t^2 - x^2 - y^2 - z^2$que no cumplen con sus criterios 2. y 3. pero siguen solo un patrón "simple" que los hace "no muy diferentes" del componente relacionado con la identidad. Un subgrupo discreto del grupo completo de Lorentz es$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$con

$$P=\text{"parity flipper"} = \mathrm{diag}[1,\,-1,\,-1,\,-1];\\T=\text{''time flipper''} = \mathrm{diag}[-1,\,1,\,1,\,1]$$

Con la excepción de$\mathrm{id}$, ninguno de estos puede ser alcanzado desde la identidad por caminos que cumplan (1). Pertenecen a distintas componentes conexas de la componente identidad.$SO^+(1,\,3)$. De hecho, el componente conexo de identidad es un subgrupo normal del grupo completo de Lorentz$SO(1,\,3)$y el cociente$O(1,\,3) / SO^+(1,\,3)$es el pequeño grupo$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$. Entonces, cualquier transformación de Lorentz completa se puede representar como una transformación ortócrona propia seguida de una de$P,\,T$o$P\,T$. Hay cuatro componentes separados conectados al grupo completo de Lorentz. (un aparte:$\{\mathrm{id},\,P,\,T,\,P\,T\}$es el "cuatrogrupo" de Klein: el único grupo posible de cuatro elementos aparte de$\mathbb{Z}_4$).

Para detectar una transformación no propia o no ortócrona, haga una de dos cosas:

1. Calcule el determinante de la matriz. Si es -1, entonces sabes que tiene que incluir uno de$P$o$T$, por lo que no es propio o no es ortocrónico. Puede diferenciar aún más el$P$y$T$cosets mirando el$L_0^0$componente de la transformación: el$T$coset tiene$L_0^0<0$, ya que tal transformación intercambia los roles del "futuro" y el "pasado" (en realidad refleja el espacio vectorial de Minkowsky en el$t=0$avión).

2. Si el determinante es$+1$, entonces puede pertenecer a la$P\,T$clase de$O(1,\,3)$. Como en el punto 1, el$T$coset y el$P\,T$coset pueden reconocerse como transformaciones con$L_0^0<0$

Eso es verdad.

Sin embargo, no es necesario que todas las transformaciones de Lorentz sean adecuadas ($det(L) = 1$) u ortocrónico$L_0^0 \geq 1$Por ejemplo,

• transformación de paridad$diag(1,-1,-1,-1)$es impropio (ya que$det(L) = -1$) pero ortocrónica (ya que$L_0^0 = 1)$

• mientras que la inversión del tiempo$diag(-1,1,1,1)$es una transformación no ortocrónica (ya que$L_0^0 = -1)$