Relatividad general: definición de marco inercial local

Me parece que esto debería implicar que un observador local parado en la tierra (por lo tanto, no en caída libre) debe considerarse como un marco acelerado, no inercial.

Sí, un observador parado en la tierra no es inercial en relatividad. La prueba definitiva es que el observador lleve un buen acelerómetro. En este caso indicará una aceleración de 1 g hacia arriba, demostrando de manera concluyente que el observador no es inercial.

Solo un pequeño detalle sobre el lenguaje: un observador no es un marco de referencia, él o ella tiene un marco de referencia, o mejor aún, hay un marco de referencia donde él o ella está en reposo.

hay otra formulación equivalente, más geométrica, de EEP: Localmente el espacio-tiempo se parece a 𝕄4 Esta no es la formulación precisa de la formulación geométrica, pero es lo suficientemente buena.

De acuerdo, es lo suficientemente bueno para los propósitos actuales.

Esto significa que en cada región suficientemente pequeña del espacio-tiempo es como estar en un marco de relatividad especial inercial, por lo que no hay aceleración, ni gravedad, ni travesuras.

No significa eso en absoluto. Ciertamente puedes tener marcos de referencia acelerados con fuerzas pseudogravitacionales en 𝕄4. Todo 𝕄4 significa que no puedes tener ningún efecto de marea.

𝕄4 es una variedad de espacio-tiempo plana y puede equiparse con un sinfín de sistemas de coordenadas, incluidos los no inerciales. Lo que "localmente el espacio-tiempo se ve como 𝕄4" significa que existen coordenadas locales donde la métrica es la métrica de Minkowski (a primer orden), pero no te restringe a usar esos sistemas de coordenadas.

Más físicamente, significa que los efectos de las mareas se vuelven insignificantes a pequeña escala. Los efectos medibles de la curvatura, o efectos de marea, son de segundo orden, por lo que pasan a primer orden en escalas lo suficientemente pequeñas.

¡Pero la formulación geométrica establece que cada marco de referencia suficientemente pequeño, incluido yo mismo, debería ser como un marco SR inercial!

No, el observador es inequívocamente no inercial. La formulación geométrica no contradice eso en absoluto. La formulación geométrica simplemente dice que en una pequeña región el espacio-tiempo es plano, no que un observador sea inercial. Es perfectamente coherente tener observadores no inerciales y marcos de referencia en un espacio-tiempo plano. Sólo están prohibidos los efectos de las mareas.

De pie sobre la superficie de la Tierra, el marco de referencia en reposo en relación con usted ciertamente no es un marco con métrica de Minkowski. Aquí está la prueba: suelta un objeto, de modo que esté en caída libre. Hay una aceleración relativa entre el objeto y el marco elegido. Por lo tanto, el marco no es inercial y su métrica no es minkowskiana.

Para definir un espacio tangente en relatividad general no es suficiente que la métrica sea minkowskiana solo en un evento. Debe ser minkowskiano Y no depender de primer orden de la distancia o el tiempo cerca de ese evento. En otras palabras, todos los símbolos de Christoffel deben desaparecer. Pero dado que el objeto liberado acelera en relación con el marco en reposo en la Tierra, al menos uno de los símbolos de Christoffel no es cero.

Gran pregunta. Si pudiera reformular un poco su pregunta, creo que está confundido por la aparente contradicción entre estas dos declaraciones sobre el principio equivalente:

1. Cualquier variedad en GR localmente se parece al espacio de Minkowski.
2. Incluso los marcos locales (muy pequeños) pueden demostrar efectos gravitatorios (por ejemplo, puede sentir que "acelera hacia arriba" si está parado en la superficie de la Tierra).

Su objeción es que la afirmación 1 parece implicar que no puede haber efectos gravitatorios observables en regiones muy pequeñas del espacio-tiempo, mientras que la afirmación 2 parece implicar que sí puede haberlos.

La resolución de esta aparente contradicción es que las afirmaciones 1 y 2 usan nociones cuantitativas diferentes de la palabra "local", y la afirmación 1 restringe la palabra "local" a regiones más pequeñas que la afirmación 2.

Más precisamente: la declaración 1 se puede reformular con mayor precisión como:

Para cualquier punto$p$en cualquier variedad pseudo-Riemanniana (es decir, espacio-tiempo), existe un sistema de coordenadas local alrededor$p$en el que la expansión de Taylor del tensor métrico concuerda con la métrica de Minkowski$\eta$a primer orden sobre$p$.

En otras palabras,$g(p) = \eta$y$\partial_\mu g(p) \equiv 0$en estas coordenadas particulares (que se conocen como coordenadas normales de Riemann). Entonces, si define "local" para significar "tan pequeño que solo las variaciones de primer orden no son despreciables", que es la suposición implícita en la declaración 1, entonces, de hecho, no se pueden detectar efectos gravitatorios localmente.

Pero resulta que los efectos de la curvatura (o la aceleración del "dueño" de un sistema de coordenadas local) necesariamente vienen en segundo orden en la métrica. Más precisamente:

Una variedad tiene curvatura intrínseca en un punto$p$si y sólo si la expansión de Taylor de segundo orden del tensor métrico sobre$p$se desvía de la métrica de Minkowski.

O incluso más precisamente:

En cualquier punto$p$en cualquier variedad pseudo-riemanniana, las derivadas parciales de segundo orden del tensor métrico$\partial_\mu \partial_\nu g(p)$son idénticamente cero en cada sistema de coordenadas, o tienen algunos componentes distintos de cero en cada sistema de coordenadas. Por lo tanto, la proposición$\partial_\mu \partial_\nu g(p) \equiv 0$es independiente de las coordenadas. El tensor de curvatura de Riemann desaparece en$p$si y si$\partial_\mu \partial_\nu g(p) \equiv 0$en algún sistema de coordenadas (y por tanto en todos ellos).

Por lo tanto, siempre puede hacer que la expansión de Taylor de la métrica sobre un punto coincida con la métrica de Minkowski en primer orden (usando las coordenadas normales de Riemann), pero no puede hacer que coincida en segundo orden si la variedad está curvada en el punto$p$. Dado que los efectos gravitatorios son una manifestación física de la curvatura de la variedad de espacio-tiempo, puede detectarlos si su marco local es lo suficientemente grande como para capturar desviaciones de segundo orden sobre el punto.$p$. Este sentido ligeramente más débil de "local" es el sentido que se usa en la declaración 2. Si su región del espacio-tiempo es solo "grande de primer orden" en la dirección del tiempo, entonces no tendrá tiempo para medir ninguna aceleración relativa de un cercano partícula de prueba.

(Por cierto, en realidad no puede haber fuerzas que induzcan una aceleración, sino solo fuerzas que inducen una aceleración de marea , definida en términos generales como cualquier variación espacial en el campo de aceleración. La única razón por la que puede sentir que la Tierra lo acelera hacia arriba es porque tu cuerpo es lo suficientemente grande como para que los términos de segundo orden en la métrica (que son proporcionales a la constante de aceleración$g$) no son despreciables. Es posible que no esté acostumbrado a pensar en la aceleración de repulsión electrostática de la Tierra que lo empuja como una aceleración de "marea", pero lo es: la única razón por la que puede sentirlo es que se aplica en las suelas de su sentir pero no en otra parte en su cuerpo, lo que induce fuerzas de compresión internas dentro de su cuerpo que usted siente. Si de alguna manera estuviera distribuida de tal manera que indujera una aceleración uniforme en todo tu cuerpo, entonces funcionaría como la gravedad y no serías capaz de sentirla).

La relatividad general es bastante clara. Como observador en la superficie de la Tierra, se encuentra en un marco de aceleración (no inercial). En consecuencia, su otra formulación no es lo suficientemente buena. Solo los marcos inerciales se parecen a los marcos de Minkowski que se usan en la relatividad especial. Esta es la esencia del principio de equivalencia, y debe quedar claro que solo una de sus formulaciones es correcta.

La prueba estándar de un marco inercial es usar un acelerómetro (incluso puede tener uno en una aplicación para su teléfono móvil). Por lo tanto, puede saber si está en un marco inercial sin mirar fuera de su localidad inmediata.