Mecánica analítica con SR

Se puede escribir fácilmente un Lagrangiano para una partícula relativista en un espacio-tiempo curvo (es decir, bajo la influencia de la gravedad). Específicamente, la "acción" es el tiempo adecuado entre dos eventos a lo largo de la línea de universo de una partícula, y la trayectoria de la partícula será extremar el tiempo adecuado entre estos eventos:

$$S = \tau = \int \sqrt{ - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu }$$ Aquí, $s$es un parámetro a lo largo de la línea de mundo de la partícula, y $x^\mu$son un conjunto de coordenadas espaciotemporales.

En particular, si queremos observar una partícula de prueba que se mueve en un campo gravitatorio débil, entonces la métrica es tal que

$$S = \int \sqrt{ \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right) dt^2 - \left( 1 - \frac{2 \Phi}{c^2} \right) d\vec{r}^2 } = \int \sqrt{ \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right) - \left( 1 - \frac{2 \Phi}{c^2} \right) \vec{v}^2 } dt$$ dónde $\Phi (\vec{r})$es el potencial gravitatorio newtoniano y $\vec{v} = d\vec{r}/dt$es la velocidad coordinada de la partícula. Extremando esta integral sobre todos los caminos $\vec{r}(t)$producirá las ecuaciones de movimiento de la partícula. ¹ También puede definir un hamiltoniano a partir de este "lagrangiano" (es decir, el integrando anterior) tomando una transformada de Legendre de la forma habitual.

Lagrangiano de bonificación gratis: si desea agregar una carga a su partícula relativista, también puede hacerlo; el lagrangiano se convierte en

$$S = \int \sqrt{ - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu } + q \int A_\mu dx^\mu$$ dónde $A_\mu$es el potencial relativista de cuatro vectores.

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¹ Esto supone que$t$es un parámetro válido para la trayectoria de la partícula, lo cual es cierto en el caso de campos gravitatorios débiles pero puede no serlo en campos gravitatorios más intensos (p. ej., agujeros negros).