Relatividad de la paradoja de la temperatura

La temperatura está relacionada con la energía cinética en el marco de reposo del fluido/gas. En la teoría cinética no relatvista, la función de distribución es

En la teoría cinética relativista

El resultado relativista se conoce como distribución de Jüttner (Juttner, 1911), y se analiza en textos estándar sobre teoría cinética relativista, por ejemplo, Cercignani y Kremer , equ. (2.124), y de Groot et al , equ (ch4)(25). Véase también (2.120) en Rezzolla y Zanotti . Para una introducción disponible en línea ver equ. (55-58) de la reseña de Romatschke . Neumaier señala que algunos (como Beccatini ) abogan por definir un campo de cuatro vectores$\beta_\mu=u_\mu/T$y luego defina una temperatura dependiente del marco$T'\equiv 1/\beta_0$. No veo la ventaja de este procedimiento, y no es lo que se hace en teoría cinética relativista, hidrodinámica, GR numérico o AdS/CFT.

En última instancia, la definición más general de$T$proviene de la termodinámica local (dinámica de fluidos), no de la teoría cinética, porque los fluidos fuertemente correlacionados (clásicos o cuánticos) no se describen en la teoría cinética. La forma estándar de dinámica de fluidos relativista (desarrollada por Landau y explicada en su libro sobre dinámica de fluidos) también introduce una velocidad relativista de 4 velocidades.$u_\mu$(con$u^2=1$), y una temperatura escalar$T$, definida por identidades termodinámicas,$dP=sdT+nd\mu$. El tensor de tensión de fluido ideal es

Respecto a la ``paradoja'': La temperatura no es relativa, es un escalar. La relación en B solo es correcta en el resto del marco. El efecto Doppler es, por supuesto, un efecto físico real. El espectro visto por un observador que se mueve con velocidad relativa$v$es$f\sim\exp(-p\cdot v/T)$, que exhibe un cambio rojo/azul. El espectro solo depende de la velocidad relativa, como debería ser. La medición del espectro se puede utilizar para determinar tanto la velocidad relativa como la temperatura. Sin embargo, si miras una estrella distante, solo mides la luz que sale en una dirección. Entonces, para desentrañar$u$y$T$, necesita una línea espectral o información sobre la luminosidad absoluta.

[19 de junio de 2016: revisado a fondo, con una presentación comparativa más detallada y mejores referencias]

Caso general. En termodinámica relativista, temperatura inversa$\beta^\mu$es un campo vectorial, es decir, los multiplicadores de la densidad de 4 momentos en el exponente del operador de densidad que especifica el sistema en términos de mecánica estadística, utilizando el método de máxima entropía, donde$\beta^\mu p_\mu$(en unidades donde$c=1$) reemplaza el término$\beta H$del conjunto canónico no relativista. esto se hace en

CG van Weert, Principio de máxima entropía e hidrodinámica relativista, Annals of Physics 140 (1982), 133-162.

para la mecánica estadística clásica y para la mecánica estadística cuántica en

T. Hayata et al., Hidrodinámica relativista de la teoría cuántica de campos sobre la base del método de conjunto generalizado de Gibbs, Phys. Rev. D 92 (2015), 065008. https://arxiv.org/abs/1503.04535

Para una extensión de la relatividad general con espín, véase también

F. Becattini, Mecánica estadística covariante y el tensor de tensión-energía, Phys. Rev. Lett 108 (2012), 244502. https://arxiv.org/abs/1511.05439

Caso conservador. Se puede definir una temperatura escalar$T:=1/k_B\sqrt{\beta^\mu\beta_\mu}$y un campo de velocidad$u^\mu:=k_BT\beta^\mu$para el fluido; después$\beta^\mu=u^\mu/k_BT$, y la función de distribución para un fluido ideal toma la forma de una distribución de Jüttner$e^{-u\cdot p/k_BT}$.

Para un fluido ideal (es decir, suponiendo que no haya disipación, de modo que todas las leyes de conservación se cumplan exactamente), se obtiene el formato comúnmente utilizado en hidrodinámica relativista (ver Capítulo 22 en el libro Misner, Thorne, Wheeler, Gravitation). Equivale a tratar la termodinámica de manera no relativista en el marco de reposo del fluido.

Tenga en cuenta que la definición de temperatura consistente con el conjunto canónico necesita una distribución de la forma$e^{-\beta H - terms~ linear~ in~ p}$, conforme a la identificación de la no covariante$\beta^0$como la temperatura canónica inversa. Esencialmente, esto se debe a la dependencia del marco del volumen que ingresa a la termodinámica. Esto está de acuerdo con la definición no covariante de temperatura utilizada por Planck y Einstein y fue la convención generalmente acordada hasta al menos 1968; cf. la discusión en

R. Balescu, Termodinámica estadística relativista, Physica 40 (1968), 309-338.

Por el contrario, la distribución covariante de Jüttner tiene la forma$e^{-u_0 H/k_BT - terms~ linear~ in~ p}$. Por lo tanto, la temperatura escalar covariante difiere de la canónica por un factor dependiente de la velocidad$u_0$. Esto explica la diferente ley de transformación. La temperatura escalar covariante es simplemente la temperatura canónica en el marco de reposo, convertida en covariante por redefinición.

Relatividad general cuántica. En la relatividad general cuántica, los observadores acelerados interpretan la temperatura de manera diferente. Esto se demuestra para el estado de vacío en el espacio de Minkowski por el efecto Unruh, que es parte de la termodinámica de los agujeros negros. Esto parece inconsistente con la suposición de una temperatura covariante.

Caso disipativo. La situación es más complicada en el caso disipativo más realista. Una vez que se permite la disipación, que equivale a pasar de Euler a Navier-Stokes en el caso no relativista, tratar de generalizar esta formulación simple se topa con problemas. Por lo tanto, no puede ser completamente correcto. En una expansión de gradiente de bajo orden, el campo de velocidad definido anteriormente a partir de$\beta^\mu$se puede identificar en el marco de Landau-Lifschitz con el campo de velocidad proporcional a la corriente de energía; ver (86) en Hayata et al. Sin embargo, en general, esta identificación implica una aproximación ya que no hay razón para que estos campos de velocidad sean exactamente paralelos; ver, por ejemplo,

P. Van y TS Biró, Hidrodinámica disipativa relativista estable y de primer orden, Physics Letters B 709 (2012), 106-110. https://arxiv.org/abs/1109.0985

Hay varias formas de parchear la situación, comenzando con una descripción cinética (válida solo para gases diluidos): la primera formulación razonable de Israel y Stewart basada en una expansión de gradiente de primer orden resultó exhibir un comportamiento acausal y no ser termodinámicamente consistente. Extensiones a segundo orden (por Romatschke, por ejemplo, https://arxiv.org/abs/0902.3663 ) o tercer orden (por El et al., https://arxiv.org/abs/0907.4500 ) solucionan los problemas a baja densidad , pero cambie las dificultades solo a términos de orden superior (consulte la Sección 3.2 de Kovtun, https://arxiv.org/abs/1205.5040 ).

Mueller y Ruggeri dieron una formulación causal y termodinámicamente consistente que involucra campos adicionales en su libro Extended Thermodynamics 1993 y su segunda edición, llamada Rational extended Thermodynamics 1998.

Paradojas. Con respecto a las paradojas mencionadas en la publicación original:

Tenga en cuenta que la fórmula$\langle E\rangle = \frac32 k_B T$es válido solo en circunstancias muy especiales (gas monoatómico ideal no relativista en su marco de reposo) y no generaliza. En general, no existe una relación simple entre la temperatura y la velocidad.

Se puede decir que su paradoja surge porque en los tres escenarios se utilizan tres conceptos diferentes de temperatura. Qué es la temperatura y cómo se transforma es una cuestión de convención, y la convención dominante cambió algún tiempo después de 1968; después del artículo de Balescu mencionado anteriormente, que muestra que hasta 1963 se definía universalmente como dependiente del marco. Hoy ambas convenciones están vivas, siendo dominante la independiente del marco.

En la teoría cinética de los gases, solo se define realmente la temperatura de las moléculas que están en movimiento constante, aleatorio y rápido. Así que si tienes un recipiente con un gas a temperatura$T$no cambia la energía interna del gas moviendo uniformemente el recipiente. Mover uniformemente el recipiente le da a todas las moléculas un movimiento promedio distinto de cero, pero no afecta el movimiento aleatorio de las moléculas que componen el gas.

Creo que es incorrecto definir la temperatura por la energía promedio de la molécula en todos los marcos de referencia. La razón de esto es clara: tome todas sus partículas y envíelas a$100 m/s$Al norte. Esto no hará que el gas se caliente más, al igual que el ventilador no enfría/calienta el aire (¡otro gran misterio!). El movimiento organizado no participa de la noción de temperatura. Aparentemente, tiene que definirse en un marco de reposo de gas para que tenga sentido.

Un simple cálculo en mente muestra una contradicción. Si define una temperatura a través de la energía, debe concluir que la temperatura se transforma como una energía (que es parte de un vector de impulso 4). Pero si intentas expandirlo a través de la velocidad, inmediatamente verás que la velocidad al cuadrado se transforma de una manera bastante fea y no se simplificará a la transformación del componente vectorial. En primer lugar, creo que la fórmula para la energía que tomas no es correcta en el caso relativista.

A continuación, ¡a la medida! Creo que esta respuesta es correcta al distinguir la observación de la temperatura de su definición estadística. Puede juzgar la temperatura de un cuerpo a partir del espectro de radiación de cuerpo negro que produce, pero esta no es la medida de la temperatura, sino la medida de la radiación que está sujeta al corrimiento al rojo relativista.

Creo que puede evitar todos estos problemas si define la temperatura como proporcional a la variación de la velocidad, es decir

Aquí$E$significa valor esperado,$v$varía sobre las velocidades de las partículas individuales, y$\overline{v}=E(v)$.

Claramente, esto es independiente del marco, porque un cambio de marco agrega un vector constante$v_0$a cada$v$y para$\overline{v}$, dejando su diferencia sin cambios.

Tengo un amigo al que le gusta describir los días fríos y ventosos diciendo que, en promedio, las moléculas de aire tienen demasiada velocidad y no la suficiente. Claramente la medida de la velocidad --- es decir$\overline{v}\cdot \overline{v}$--- depende del marco: no sientes el viento si te mueves con él. Pero la medida de velocidad --- o, más exactamente, de velocidad-menos-velocidad --- es decir, la expresión mostrada arriba --- es independiente del marco, y creo que es lo que mide su termómetro.

Suceden todo tipo de cosas raras si intentas definir la temperatura en un objeto en movimiento. La paradoja para mí (no una respuesta aceptada generalizada) se resuelve al darme cuenta de que la temperatura solo debe definirse como medida cuando el objeto está estacionario. No solo no es un escalar sino que ni siquiera está bien definido para un marco de referencia en movimiento relativo. ¿Es la temperatura un invariante de Lorentz en la relatividad?

Otro problema de los que mencionaste es que, para un objeto en movimiento que está en equilibrio térmico en su propio marco de referencia, como se ve en el marco de referencia donde se mueve el objeto, la distribución de las velocidades de las partículas ya no sigue la distribución de Boltzmann, ni siquiera en relación con el centro de masa: las partículas que se mueven perpendicularmente al movimiento del objeto no cambiarán su velocidad promedio, pero las que se mueven paralelas al objeto sí lo harán. Además, debido a que la composición de velocidades no es lineal, esta desviación tampoco será simétrica entre las que se mueven en la misma dirección del centro de masa y las que se mueven en dirección opuesta al centro de masa.

La pregunta puede ser sobre la covarianza o no de la temperatura, en cuyo caso echa un vistazo aquí . Además, eche un vistazo al artículo "Temperature in special relativity" de J. Lindhard, Physica Volumen 38, Número 4, 5 de junio de 1968, páginas 635-640.