Creo que lo haces sonar mucho más misterioso de lo que es. La función de distribución relativista es

$$f_p = \frac{1}{(2\pi)^3}\exp(-(\mu-u\cdot p)/T)\,$$ donde $u_\alpha$es la 4-velocidad del fluido, $p_\alpha$es el 4-momento de la partícula, $T$es la temperatura y $\mu$es el potencial químico. Esto a veces se denomina distribución de Juttner y tiene generalizaciones obvias para las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac.

Esta expresión es obviamente invariante de Lorentz ($u\cdot p$es un escalar, y también lo son$\mu$y$T$), se reduce a Boltzmann en el marco de reposo del fluido, y es invariante galileana para fluidos de movimiento lento.

Las divertidas funciones de Bessel aparecen si intentas determinar la fugacidad.$e^{\mu/T}$en cuanto a la densidad,$n=N_0$con

$$N_\mu = \int \frac{d^3p}{p^0} p_\mu f_p\, ,$$ porque ahora su factor de normalización contiene integrales sobre $\exp(-\sqrt{p^2+m^2}/T)$

Observaciones adicionales: después de algunas insistencias del OP, miré el Treumann et al. paper (está disponible en el archivo, http://arxiv.org/abs/1105.2120 ). Inicialmente pensé que esto era solo una derivación innecesariamente complicada de resultados conocidos, pero este no es el caso. El papel está mal. (Francamente, no es una buena señal si un artículo que señala una falla importante en la teoría cinética relativista se publica en la sección de física del archivo y en una revista de geofísica).

El artículo comienza bien, observando que desde$d^3xd^3p$es invariante de Lorentz,$f_p$debe ser un escalar. Sin embargo, escriben una función de distribución que claramente no es un escalar a menos que asuma que$T$es la componente cero de un vector. Incluso si eso pudiera arreglarse, el resultado no es correcto porque no es invariante de Galileo para pequeñas velocidades. Luego escribe una expresión no covariante para$N_\mu$. Si$f_p$es un escalar,$d^3p p_\mu f_p$no es un vector, y como resultado su densidad de partícula$N_0$no se transforma como una densidad (escribí la expresión correcta arriba). Ya que$N_0$está mal, la normalización$\Lambda$también está mal

Más comentarios: Después de más insistencia, un intento de responder a las preguntas originales:

1) La distribución original de Boltzmann es anisótropa si la velocidad del fluido$\vec{u}$no es cero (la distribución es isotrópica en el marco de reposo fluido), pero presumiblemente está buscando algo más general. La función de distribución de un fluido viscoso es anisotrópica ya en el marco de reposo del fluido,$f_p=f_p^0 +\delta f_p$con

$$\delta f_p \sim \eta\sigma_{\alpha\beta}p^\alpha p^\beta,$$ donde $\sigma_{\alpha\beta}$es el tensor de deformación relativista. Aún más generalmente, podemos parametrizar la función de distribución en términos de corrientes y tensiones. Esta es la versión relativista del método de 13 momentos de Grad, consulte, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1301.2912 . La gente también ha escrito modelos para funciones de distribución altamente anisotrópicas, consulte, por ejemplo, http://arxiv.org/abs/1007.0130 .

2) La temperatura es un escalar. Está relacionado con la energía cinética por partícula en el marco de reposo. La densidad de energía cinética es el componente 00 de un tensor y se transforma en consecuencia.

E. Lehmann (J. of Math. Physics 47 023303, 2006) intentó esto en su artículo Mecánica estadística del equilibrio covariante (el artículo también está en arXiv). Descubrió que su distribución totalmente covariante se volvió más plana que la no covariante. También que mientras la función de partición no covariante continuaba aumentando con la temperatura, la totalmente covariante alcanzaba un máximo de alrededor de logT~12.

Aunque hay pérdida de la invariancia del conteo de partículas en el caso completamente covariante, aún se puede definir una densidad de energía y con eso una temperatura en el sentido clásico, asumiendo el equilibrio termodinámico. Sin embargo, a medida que aumente la temperatura, alcanzaremos las condiciones que prevalecían en el universo en el momento del Big Bang y dudo que alguien afirme que puede ser una situación de equilibrio. La continuidad física sugeriría que los efectos vendrían gradualmente. La temperatura en el máximo de Lehmann ocurre en el colapso del núcleo de las supernovas.

Es posible reproducir los principales resultados del análisis de Lehmann (temperatura máxima y distribución de aplanamiento) usando el argumento simple que Maxwell usó por primera vez en el caso clásico cuando aún era un adolescente. Es decir, dividimos la función de distribución 3D en un producto de tres funciones idénticas y usamos la composición de velocidades para obtener la forma de la distribución. La composición clásica se reemplaza fácilmente por la relativista utilizando la transformación de Lorentz. La distribución resultante se vuelve plana en logT~11, después de lo cual adquiere forma de U. En realidad, hay dos suposiciones subyacentes en el enfoque de Maxwell: el caos molecular y que una distribución de equilibrio debe ser isotrópica. La isotropía podría ser una condición necesaria, pero este resultado sugiere que no es suficiente.

Descargo de responsabilidad

La siguiente respuesta está tomada en gran parte del documento arXiv con el número de impresión electrónica 1512.04015 de Treumann y Baumjohann (de aquí en adelante, abreviaré las referencias a este documento como TB15).

Fondo

Es bien sabido que la distribución de Maxwell-Jüttner funciona bien para una distribución de cantidad de movimiento/energía con una temperatura escalar isotrópica,$T$. Esta distribución se aplica generalmente a plasmas relativistas calientes. Aquí radica el problema y el origen de la pregunta. Los plasmas calientes, incluso en casos no relativistas, rara vez son isotrópicos.

Como un aparte y para aclarar las definiciones, TB15 establece:

El significado de clásico aquí no es que se excluyan los efectos cuánticos, lo que, de todos modos, es el caso en un plasma caliente, debido a la tinniness de la longitud cuántica térmica.$\lambda_{q} = \sqrt{2 \pi \hbar^{2} / m_{e} T}$. Implica que el número de partículas se conserva. Esto inhibe la creación y aniquilación de pares y, por lo tanto, se restringe a temperaturas por debajo, aproximadamente,$T_{e} < 2 m_{e} c^{2} \approx 1 \ MeV$.

Para plasmas no relativistas, lidiar con una anisotropía de temperatura es fácil porque la energía cinética es aditiva, como se muestra en el ejemplo de ecuaciones bi-Maxwellianas y bi-kappa en la pregunta anterior. En un plasma relativista, la energía tiene un factor adicional dependiente del momento,$\gamma\left( \mathbf{p} \right)$, que es el factor de Lorentz , definido como:

$$\gamma\left( \mathbf{p} \right) = \sqrt{ 1 + \left( \frac{ \mathbf{p} }{ m \ c } \right)^{2} } \tag{1}$$ donde $\mathbf{p}$es el impulso, $m$es la masa en reposo de la partícula, y $c$es la velocidad de la luz en el vacío. Entonces la energía total de la partícula se puede definir como: $$\epsilon\left( \mathbf{p} \right) = \gamma\left( \mathbf{p} \right) \ m \ c^{2} \tag{2}$$ El problema es ese $\epsilon\left( \mathbf{p} \right)$ya no es aditivo. Suele ocurrir que las temperaturas anisotrópicas se introducen de la siguiente forma: $$\epsilon\left( \mathbf{p} \right) = m \ c^{2} \sqrt{ 1 + \left( \alpha_{\perp} \bar{p}_{\perp} \right)^{2} + \left( \alpha_{\parallel} \bar{p}_{\parallel} \right)^{2} } \tag{3}$$ donde $\bar{p}_{\perp (\parallel)} = c \ p_{\perp (\parallel)}/T_{\perp (\parallel)}$y $\alpha_{\perp (\parallel)} = T_{\perp (\parallel)}/mc^{2}$. Son varios los problemas que produce este formato, como afirma TB15:

Esto inhibe una definición simple de una distribución expresada únicamente en$\gamma$hacer cumplir el uso de la distribución de cantidad de movimiento. Además, en el exponente de la distribución relativista, la normalización a la temperatura se vuelve arbitraria... Otro aspecto se refiere a la cuestión, que$\gamma$se significa. Si el observador está tratando desde su sistema inercial con un cuerpo gaseoso o de plasma extendido en movimiento con un momento volumétrico relativista$\mathbf{P}$el problema es diferente de aquel en el que el observador está incrustado en reposo relativo en el volumen con todas las partículas moviéndose en relación con él en momentos relativistas$\mathbf{p}$. En el último caso, los efectos relativistas son intrínsecos al sistema, lo que contrasta con el efecto de volumen extrínseco más simple anterior...

Respuesta

Usan el enfoque de Klein-Gordon porque se ignoran los giros de las partículas. Por lo tanto, al elevar al cuadrado la Ecuación 2 se obtiene:

$$\begin{align} \epsilon^{2} & = \left[ c \ \mathbf{p} + i \ m \ c^{2} \ \mathbf{e} \right] \cdot \left[ c \ \mathbf{p} - i \ m \ c^{2} \ \mathbf{e} \right] \tag{4a} \\ & = \left( c \ p_{\nu} + i \ m \ c^{2} \ e_{\nu} \right) \delta_{\mu}^{\nu} \left( c \ p^{\mu} - i \ m \ c^{2} \ e^{\mu} \right) \tag{4b} \end{align}$$ donde $\mathbf{p} = \left( p_{\perp} \cos{\phi}, p_{\perp} \sin{\phi}, p_{\parallel} \right)$, $\delta_{\mu}^{\nu}$es el tensor de Dirac , y $\mathbf{e}$es un vector unitario que se puede elegir arbitrariamente. TB15 señala varios puntos sobre la forma de la Ecuación 4b:

Por supuesto, la energía mantiene su propiedad escalar que se refleja en el producto punto escalar de las dos expresiones entre paréntesis. La aparición del elemento imaginario no tiene ningún efecto sobre la energía. En particular, ¡no implica ninguna amortiguación del movimiento de las partículas! Sin embargo, por la factorización anterior, el hamiltoniano se puede dividir en dos hamiltonianos que son lineales en el vector$\mathbf{p}$. Es importante darse cuenta de esto. Permite la introducción consistente de una anisotropía de presión...

Luego construyen un tensor de presión asumiendo una densidad numérica escalar fija,$N$, y escríbalo en términos de la temperatura como:

$$\begin{align} \mathbb{P} & = P_{\perp} \delta_{\mu}^{\nu} + \left( P_{\parallel} - P_{\perp} \right) \delta_{3}^{3} \tag{5a} \\ & = N \left[ T_{\perp} \delta_{\mu}^{\nu} + \left( T_{\parallel} - T_{\perp} \right) \delta_{3}^{3} \right] \tag{5b} \end{align}$$ donde direccion $3$se supone que está a lo largo de la dirección del campo magnético cuasi-estático, $\mathbf{b} = \mathbf{B}/B$y la Ecuación 5b se aplica a un gas ideal. Aquí es donde las cosas se vuelven difíciles porque la temperatura ya no es simplemente una cantidad escalar, por lo que no podemos simplemente dividirla como se hizo en la Ecuación 3 anterior. Si el tensor de presión es invertible, como debería ser, entonces tenemos: $$\begin{align} \mathbb{P}^{-1} & = N^{-1} \left[ T_{\perp}^{-1} \delta_{\nu}^{\mu} + \left( T_{\parallel}^{-1} - T_{\perp}^{-1} \right) \delta_{3}^{3} \right] \tag{6a} \\ & = N^{-1} \Theta \tag{6b} \end{align}$$ donde $\Theta$es el "tensor de temperatura inverso". Ahora podemos reescribir la Ecuación 4b como: $$\begin{align} \epsilon^{2} & = \left[ c \ p_{\nu} + i \ m \ c^{2} \ e_{\nu} \right] \Theta_{\mu}^{\nu} \Theta_{\lambda}^{\mu} \left[ c \ p^{\lambda} - i \ m \ c^{2} \ e^{\lambda} \right] \tag{7a} \\ & = \frac{ m^{2} c^{4} }{ T_{\perp}^{2} } \left( \frac{ p^{2} }{ m^{2} c^{2} } + 1 \right) \left( \sin^{2}{\theta} + A^{2} \cos^{2}{\theta} \right) \tag{7b} \end{align}$$ donde $A = T_{\perp}/T_{\parallel}$y $\mathbf{p} = \left( p \sin{\theta}, p \cos{\theta} \right)$(es decir, simplemente reduzca el impulso a paralelo y perpendicular). si definimos $\beta_{\perp} = m \ c^{2}/T_{\perp}$y $\psi = A^{2} - 1$(es decir, la isotropía implica $\psi = 0$), entonces podemos escribir la distribución de cantidad de movimiento relativista anisotrópica para un gas ideal como: $$\begin{align} f\left( \mathbf{p} \right) & = C_{o} exp\left( - \beta_{\perp} \sqrt{ \left( 1 + \frac{ p^{2} }{ m^{2} c^{2} } \right) \left( 1 + \psi \cos^{2}{\theta} \right) } \right) \tag{8a} \\ & = C_{o} exp\left( - \beta_{\perp} \ \gamma\left( p \right) \sqrt{ \left( 1 + \psi \cos^{2}{\theta} \right) } \right) \tag{8b} \end{align}$$

Normalización

La normalización es con respecto a la densidad escalar,$N$, y el enfoque se da en TB15. Comienzan por definir$\beta = \beta_{\perp} \sqrt{ 1 + \psi \cos^{2}{\theta} }$y luego mostrar:

$$N = 4 \ \pi \ C_{o} \ \left( m \ c \right)^{3} \int_{0}^{1} \ dx \ \frac{ K_{2}\left( \beta\left( x \right) \right) }{ \beta\left( x \right) } \tag{9}$$ donde $K_{2}\left( z \right)$es la función de argumento de Bessel modificada de segundo orden $z$y la integral no tiene solución analítica. Uno puede reescribir la Ecuación 9 en la siguiente forma para $C_{o}$dada por: $$C_{o} = \frac{ N \ \beta_{\perp} }{ 2 \ \pi \ \left( m \ c \right)^{3} } \left[ \int_{1}^{1 + \psi} \ dz \ \frac{ K_{2}\left( \beta_{\perp} \sqrt{z} \right) }{ \sqrt{z \left( z - 1 \right)} } \right]^{-1} \tag{10}$$ que tampoco se puede resolver analíticamente.

En el límite de pequeña anisotropía (es decir,$\psi < 1$), uno puede aproximar la integral en la Ecuación 9 como:

$$\int_{0}^{1} \ dx \ \frac{ K_{2}\left( \beta\left( x \right) \right) }{ \beta\left( x \right) } \approx \frac{ 1 }{ 2 \ \beta_{\perp} \sqrt{ \psi } } \left\{ \left[ K_{1}\left( \frac{ \beta_{\perp} }{ 2 } \right) \right]^{2} - \left[ K_{1}\left( \frac{ 1 }{ 2 } \beta_{\perp} \sqrt{ 1 + \psi } \right) \right]^{2} \right\} \tag{11}$$

Todo lo anterior asume una anisotropía perpendicular, pero se pueden encontrar formas análogas para anisotropías paralelas. TB15 también comenta sobre la generalización para incluir campos potenciales externos, pero eso lo dejo para el artículo.

Nota IMPORTANTE

Las expresiones anteriores solo se aplican a los bosones . Para incluir fermiones , sería necesario incluir el espín en los cálculos, lo que aumentaría en gran medida la complejidad del problema. Según lo declarado por TB15:

Observamos que también se puede realizar un cálculo similar para plasmas fermiónicos. Entonces, sin embargo, uno debe referirse al método de Dirac de dividir la energía relativista. Esto conduce al uso de matrices de Dirac y expresiones sustancialmente más complicadas, incluido el giro de las partículas. Los efectos fermiónicos de la anisotropía se esperarán solo a temperaturas muy bajas y en campos magnéticos muy fuertes. Tales situaciones pueden ocurrir en el efecto Quantum-Hall y cuando se trata de los interiores de objetos altamente magnetizados como púlsares y magnetares... Una conclusión interesante que se puede sacar es que en los medios relativistas la temperatura y su inversa, generalmente llamada$\beta = 1/T$deben entenderse como vectores. Esta es la consecuencia del tensor de presión.

Como conclusión final, señalan:

Uno podría, además, pensar que la división de la energía proporcionaría dos versiones diferentes de la distribución. Sin embargo, este no es el caso. La linealidad en el impulso de los dos vectores de energía no tiene un significado clásico. Las energías son escalares y no se transforman como vectores. La multiplicación con el vector de temperatura relativista inversa no libera esta propiedad. La linealidad conduciría a una dependencia lineal del exponente en la distribución que ya no es gaussiana y, por lo tanto, pierde la propiedad de probabilidad. Además, cada uno de los vectores de energía se vuelve complejo. Esta complejidad se resuelve en la mecánica cuántica en el formalismo del operador de las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac pero no tiene significado en la física clásica.

Actualizaciones

Desde la publicación de esta pregunta y respuesta, ha habido dos publicaciones arbitradas sobre el tema, una de Treumann y Baumjohann [2016] (doi: 10.5194/angeo-34-737-2016 ) y otra de Livadiotis [2016] (doi: 10.5194 ) /angeo-34-1145-2016 ) (ambos documentos son de acceso abierto, por lo que no debería haber un muro de pago). Treumann y Baumjohann [2016] corrigen su resultado de arXiv y encuentran el mismo factor de normalización que el artículo original de Jüttner [1911].

Livadiotis [2016] es más riguroso en su tratamiento dando la distribución de probabilidad:

$$P\left( \mathbf{p}, \Theta \right) = C_{o} \ e^{ - \Theta^{-1} \ \sqrt{ 1 + \sum_{i=1}^{\delta} \tfrac{\Theta}{\Theta_{i}} \left( \tfrac{p_{i}}{m \ c} \right)^{2} } }$$ donde $\delta$es el número de grados de libertad, $\Theta_{i} = \tfrac{k_{B} \ T_{i}}{m \ c^{2}}$es la i ^-ésima componente de la temperatura normalizada, $k_{B}$es la constante de Boltzmann, y $\Theta = \tfrac{1}{\delta} \ \sum_{i=1}^{\delta} \Theta_{i}$, y $C_{o}$es dado por: $$C_{o} = \pi^{\left( \tfrac{ 1 - \delta }{ 2 } \right)} \ 2^{-\left( \frac{ \delta + 1 }{ 2 } \right)} \ \left( m \ c \right)^{-\delta} \ \frac{ \sqrt{ \Theta } }{ K_{\tfrac{ \delta + 1 }{ 2 }}\left( \tfrac{ 1 }{ \Theta } \right) } \ \left[ \prod_{i=1}^{\delta} \ \Theta_{i}^{-1/2} \right]$$ donde $K_{n}\left( x \right)$es la función de Macdonald (también es una función de Bessel modificada ), $m$es la masa de la partícula, y $c$es la velocidad de la luz.

En el caso concreto de$\delta = 3$y$\left\{ T_{i} \right\}_{i=1}^{3} = \left( T_{\parallel}, T_{\perp} \right)$,$C_{o}$se reducirá a:

$$C_{o} \rightarrow \frac{ \sqrt{ \Theta \ A } \ \beta_{\perp} }{ 4 \pi \ \left( m \ c \right)^{3} \ K_{2}\left( \tfrac{ 1 }{ \Theta } \right) }$$ donde $A = T_{\perp}/T_{\parallel}$y $\beta_{j} = \tfrac{ m \ c^{2} }{ k_{B} \ T_{j} }$.