Relaciones funcionales para pruebas de Kochen-Specker

Question

Relaciones funcionales para pruebas de Kochen-Specker

Física
nivel de investigación
referencia específica
información cuántica

MHoward

Muchas pruebas del teorema de Kochen-Specker utilizan alguna forma del siguiente argumento (de la "Forma unificada simple para los principales teoremas sin variables ocultas" de Mermin )

[S]i alguna relación funcional
$F (A, B, C, \dots) = 0$ $f(A,B,C,\ldots)=0$ tiene como operador la identidad entre los observables de un conjunto que se conmuta mutuamente, entonces, dado que los resultados de las mediciones simultáneas de $A,B,C,\ldots$ será uno de los conjuntos $a,b,c,\ldots$ de valores propios simultáneos de $A,B,C,\ldots$ , los resultados de esas mediciones también deben satisfacer $F (a, b, C, \dots) = 0$ $f(a,b,c,\ldots)=0$

Contradicciones de tipo paridad (p. ej., $1=-1$ o $0=1$ ) entonces se ven surgir cuando $a,b,c\ldots$ se les asignan valores independientemente del contexto en el que se miden. Las únicas formas explícitas de $f$ que he visto son (i) $A+B+C+\ldots$ o (ii) $(A)(B)(C)\ldots$ (ver, por ejemplo, "Teorema generalizado de Kochen-Specker" de Asher Peres, donde se utilizan ambas formas).

Mi pregunta, entonces, es: ¿existen ejemplos de pruebas del tipo de paridad donde $f$ es, necesariamente, no de las formas anteriores (i) o (ii)? Por ejemplo, se podría considerar $A+(B)(C)\ldots$ etc. Idealmente, estoy buscando ejemplos explícitos donde $f$ está explicado en detalle, pero también me interesarían los argumentos donde un tipo diferente de $f$ se utiliza implícitamente.

Mateus Araújo

¿Por qué te interesa la forma de

f

$f$ ? ¿Por qué sería relevante? ¿Quieres saber si es posible una prueba de no contextualidad donde

f

$f$ no es ni aditivo ni multiplicativo? No conozco ninguno que se me pase por la cabeza, pero diría que es fácil construir un ejemplo de este tipo.

MHoward

Como usted, creo que es muy posible que otras formas de

f

$f$ suficiente para dar pruebas de contextualidad cuántica. Lo más interesante sería un ejemplo en el que

f

$f$ de forma (i) o (ii) no exhibe contextualidad, pero una diferente

f

$f$ lo hace. ¿Por qué eso es relevante? Puede ayudar a proporcionar una mayor comprensión de la contextualidad cuántica y, en particular, de los conjuntos de Kochen-Specker (que se sabe que tienen varias aplicaciones).

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¿Por qué te interesa la forma de $f$ ? ¿Por qué sería relevante? ¿Quieres saber si es posible una prueba de no contextualidad donde $f$ no es ni aditivo ni multiplicativo? No conozco ninguno que se me pase por la cabeza, pero diría que es fácil construir un ejemplo de este tipo.
Como usted, creo que es muy posible que otras formas de $f$ suficiente para dar pruebas de contextualidad cuántica. Lo más interesante sería un ejemplo en el que $f$ de forma (i) o (ii) no exhibe contextualidad, pero una diferente $f$ lo hace. ¿Por qué eso es relevante? Puede ayudar a proporcionar una mayor comprensión de la contextualidad cuántica y, en particular, de los conjuntos de Kochen-Specker (que se sabe que tienen varias aplicaciones).

Mateus Araújo · Answer 1

Primero, un ejemplo trivial que podría enfadarte:

Dejar $A_i$ ser los observables del cuadrado de Mermin-Peres, y $a_i$ sus valores no contextuales. Después $\prod_i A_i = -\mathbb{1}$ , pero $\prod_i a_i = 1$ , contradicción. En este caso $f$ es multiplicativo. Pero la misma contradicción se puede obtener considerando $\prod_i A_i+\prod_i A_i = -2\mathbb{1}$ y $\prod_i a_i+\prod_i a_i = 2$ , dónde $f$ no es ni multiplicativo ni aditivo.

Ahora, un ejemplo más interesante, que encontré en un artículo de Adán Cabello sobre las desigualdades para probar la contextualidad independiente del estado:

Dejar

A = (\begin{matrix} Z \otimes 1 & 1 \otimes Z & Z \otimes Z \\ 1 \otimes X & X \otimes 1 & X \otimes X \\ Z \otimes X & X \otimes Z & Y \otimes Y \end{matrix})

$A = \begin{pmatrix} Z \otimes \mathbb{1} & \mathbb{1} \otimes Z & Z \otimes Z \\ \mathbb{1} \otimes X & X \otimes \mathbb{1} & X \otimes X \\ Z \otimes X & X \otimes Z & Y \otimes Y \end{pmatrix}$

Sea el cuadrado de Mermim-Peres. Si uno atribuye valores no contextuales $a_{ij} = \pm 1$ a los observables $A_{ij}$ , entonces se puede demostrar que

a_{11} a_{12} a_{13} + a_{21} a_{22} a_{23} + a_{31} a_{32} a_{33} + a_{11} a_{21} a_{31} + a_{12} a_{22} a_{32} - a_{13} a_{23} a_{33} \leq 4,

$a_{11} a_{12} a_{13} + a_{21} a_{22} a_{23} + a_{31} a_{32} a_{33} \\+ a_{11} a_{21} a_{31} + a_{12} a_{22} a_{32} - a_{13} a_{23} a_{33} \le 4,$ mientras que en la mecánica cuántica

⟨ A_{11} A_{12} A_{13} ⟩ + ⟨ A_{21} A_{22} A_{23} ⟩ + ⟨ A_{31} A_{32} A_{33} ⟩ + ⟨ A_{11} A_{21} A_{31} ⟩ + ⟨ A_{12} A_{22} A_{32} ⟩ - ⟨ A_{13} A_{23} A_{33} ⟩ = 6.

$\langle A_{11} A_{12} A_{13}\rangle + \langle A_{21} A_{22} A_{23}\rangle + \langle A_{31} A_{32} A_{33}\rangle \\+ \langle A_{11} A_{21} A_{31}\rangle + \langle A_{12} A_{22} A_{32}\rangle - \langle A_{13} A_{23} A_{33}\rangle = 6.$ La prueba de la desigualdad se puede hacer simplemente enumerando los

2^{9}

$2^9$ posibilidades, si eres perezoso, o jugando con la desigualdad del triángulo. En cualquier caso, tenemos un

f

$f$ eso no es aditivo ni multiplicativo. Por supuesto, en este caso la contradicción toma la forma de una desigualdad, en lugar de un valor definido para valores no contextuales.

Supongo entonces que siempre usaban un multiplicativo o aditivo $f$ porque es más fácil construir este tipo de contradicciones, basadas en argumentos de paridad. Pero no creo que haya nada fundamental en ello.

Gracias mateo. Si bien estos ejemplos no son puramente aditivos o multiplicativos, están trivialmente relacionados con la prueba multiplicativa que es bien conocida para el cuadrado de Peres-Mermin. Al leer su respuesta, veo una deficiencia en la forma en que formulé mi pregunta. Implícitamente, estaba buscando una contradicción de la $a \neq b$ tipo (una forma generalizada de una prueba de paridad, supongo) en lugar de la $a \not < b$ tipo. Teniendo en cuenta la violación de las desigualdades, parece bastante fácil inventar ejemplos si uno tiene un $O=-\mathbb{I}$ satisfactorio $v(O)=1$ como lo hacemos en la plaza PM.
¿Ambas cosas? Vamos, que la prueba de la desigualdad es muy diferente a la prueba multiplicativa del cuadrado de Mermin-Peres. Pero creo que el primer ejemplo trivial es una prueba del principio de que uno puede mezclar la suma o la multiplicación. Por supuesto, una pregunta interesante es si toda prueba "mixta" puede reducirse a una prueba "pura". Apuesto a que la respuesta es sí y, además, que siempre puedes asignarlos a una prueba aditiva.

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