traza parcial con matrices dispersas

Dejar ρ A B C D ser una matriz dispersa de 4 sistemas cada uno en un d espacio de Hilbert -dimensional.

Para d < 7 en un tiempo prudencial (pocos segundos) pude realizar el rastreo parcial ρ A D utilizando el código propuesto en http://www3.imperial.ac.uk/people/m.tame/research . Necesitaría un algoritmo eficiente para calcular ρ A D dónde d ≥ 7 . El algoritmo del sitio anterior no explota ninguna propiedad de la matriz y requiere muchas permutaciones y reordenamientos.

¿Conoce un algoritmo eficiente para calcular el rastro parcial de qudit que utiliza el hecho de que la matriz es escasa? También sería interesante si el algoritmo puede aprovechar el cómputo paralelo.

Muchas gracias de antemano por sus respuestas.

Saludos,

Silvio

Estrictamente hablando, solo puede esperar una escala polinomial con la dimensión del sistema d (No llamaría a esto eficiente en términos de complejidad computacional, a menos que establezca d para que sea una constante). Sería útil saber cuán escasa es su matriz de densidad: ¿cómo se escala asintóticamente el número máximo de coeficientes por filas y columnas con la dimensión del sistema? d ?
En general, una traza parcial de una matriz dispersa no produce una matriz dispersa, por lo que solo obtendrá una mejora limitada utilizando el hecho de que la matriz es dispersa (quizás un factor de d/s).

Respuestas (1)

Si quieres algo específico de Mathematica, no lo sé, pero en general:

Dejar σ = ρ A D = Tr B C ( ρ ) . ρ es un operador en cuatro subsistemas, por lo que tiene cuatro entradas y cuatro salidas, lo que lo convierte en un tensor de rango 8. Dejar i , i ′ ser los índices correspondientes a la entrada y salida de ρ en subsistema A , dejar j , j ′ corresponden a las B , etc. Los componentes de σ son entonces σ i i ′ yo yo ′ = ∑ j k ρ i i ′ j j k k yo yo ′ .

Si ρ es escaso, solo necesita sumar las entradas que no son cero. Si ρ entonces es hermitiano σ será hermitiano y basta calcular solo el triángulo superior (el triángulo inferior es entonces el conjugado de eso). No creo que haya otras optimizaciones disponibles a menos que conozca más estructuras en ρ . La suma es trivialmente paralelizable - cada combinación i i ′ yo yo ′ es completamente independiente de los demás.

La eficiencia de este método depende en gran medida de lo costoso que es enumerar los coeficientes de los dispersos que son distintos de cero. Sería bueno que el OP pudiera aclarar este punto.
Muchas gracias por su respuesta. Usando su sugerencia y mirando más detenidamente el algoritmo propuesto en Mathematica (enlace en la pregunta), pude paralelizar el algoritmo y ahora puedo llegar hasta d ≤ 9 . Con respecto a otras estructuras o la escala asintótica de los elementos distintos de cero, no tengo un análisis tan profundo porque no es necesario para mi problema. Sí creo que no hay ninguna propiedad interesante que pueda usarse para la traza parcial porque aplico una unidad a algunos estados y veo que hay "muchos" ceros. De nuevo, muchas gracias.
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