Relaciones de renormalización y conmutación canónica

Question

Relaciones de renormalización y conmutación canónica

Blazej

Mi pregunta es si las relaciones de conmutación canónicas se mantienen para los campos cuánticos renormalizados. A continuación muestro el razonamiento que provocó las dudas.

Considere un QFT escalar relativista. Tenemos descomposición espectral de la función de dos puntos

⟨ Ω | ϕ (X_{1}) ϕ (X_{2}) | Ω ⟩ = \int \frac{d {metro}^{2}}{2 π} ρ ({metro}^{2}) Δ_{+} (X_{1} - X_{2}, {metro}^{2}),

$\langle \Omega | \phi(x_1) \phi(x_2) | \Omega \rangle = \int \frac{\mathrm d m^2}{2 \pi} \rho(m^2) \Delta_+(x_1-x_2,m^2),$ dónde

ρ \geq 0

$\rho \geq 0$ se llama función de densidad espectral y distribución

Δ_{+}

$\Delta_+$ Se define como

Δ_{+} (X, {metro}^{2}) = \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3} 2 {pags}^{0}} {mi}^{- i pags X},

$\Delta_+ (x,m^2) = \int \frac{\mathrm d ^3 p}{(2 \pi)^3 2p^0} e^{-ipx},$ con integral evaluada sobre la frecuencia positiva (

p^{0} \geq 0

$p^0 \geq 0$ ) cáscara de masa

p^{2} = m^{2}

$p^2=m^2$ . Asumí por encima de ese campo

ϕ

$\phi$ no tiene valor esperado de vacío. Si tomamos la diferencia de la primera fórmula consigo misma con

x_{2}

$x_2$ y

x_{1}

$x_1$ intercambiado, conjunto

x_{2} = 0

$x_2 = 0$ , derivar con respecto a

x_{1}^{0}

$x_1^0$ y establecer

x_{1}^{0} = 0

$x_1^0=0$ obtenemos un conmutador canónico en el lado izquierdo. Al comparar con el lado derecho se obtiene la regla de la suma de Weinberg para la densidad espectral:

\int \frac{d {metro}^{2}}{2 π} ρ ({metro}^{2}) = 1.

$\int \frac{\mathrm d m^2}{2 \pi} \rho(m^2) = 1.$ Lo que me molesta es que el valor de esta integral depende de los valores de las partes finitas de las constantes de renormalización. Por lo tanto, no es independiente del esquema de renormalización ni de la escala. Revisé algunos ejemplos simples y resultó ser posible aplicar esta relación como condición de renormalización y fijar el valor de la renormalización de la función de onda. Sin embargo, no creo que esto sea lo que se suele hacer.

Respuestas (2)

Relaciones de renormalización y conmutación canónica

JeffDror · Answer 1

Las relaciones de conmutación para los campos renormalizados son diferentes a las de los campos desnudos por factores de la renormalización de la función de onda. Como ejemplo, considere un campo escalar complejo, $\phi$ . Los campos desnudos obedecen, por ejemplo,

[ϕ (X), ϕ (y)^{†}] = \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} {mi}^{i pags \cdot X}

$\left[ \phi (x) , \phi (y) ^\dagger \right] = \int \frac{ d^3p }{ (2\pi)^3 } e ^{ i p \cdot x }$ mientras que los campos renormalizados (

ϕ_{r} \equiv ϕ / \sqrt{Z}

$\phi _r \equiv \phi /\sqrt{ Z}$ ) obedecer,

[ϕ_{r} (X), ϕ_{r} (y)^{†}] = Z \int \frac{d^{3} pags}{(2 π)^{3}} {mi}^{i pags \cdot X}

$\left[ \phi _r (x) , \phi _r (y ) ^\dagger \right] = Z \int \frac{ d^3p }{ (2\pi)^3 } e ^{ i p \cdot x }$

¿Deberíamos preocuparnos por esto? No me parece. La conclusión importante con respecto a las relaciones de conmutación es que se anulan para puntos similares al espacio para ser consistentes con la relatividad especial. Aparte de eso, no juegan un papel importante aquí.

Como punto adicional, el producto de campos ordenado por tiempo también es diferente para los campos vacíos y renormalizados. Esto conduce a una modificación del propagador como sospecho que ya sabe.

No puedo ver por qué los campos renormalizados no obedecen a las relaciones canónicas de conmutación (CCR), ya que si hacemos una transformación en un sistema que rompe las CCR, entonces la "física" del sistema cambiará. Entonces, creo que deberíamos cambiar la escala de los campos renormalizados para que obedezcan los CCR nuevamente.
@PhilosophiaeNaturalis: La física del sistema cambia. Los campos renormalizados y los campos vacíos no obedecen a las mismas ecuaciones. Se diferencian por factores de $Z$ .
No tengo ningún problema en aceptar que CCR no necesita mantenerse si no los aplicamos explícitamente mediante el cambio de escala de campo. Estoy un poco desconcertado por el hecho de que esto nunca se menciona en los libros de texto. Sin embargo, no estoy muy seguro de si son los campos vacíos los que satisfacen el CCR. Las funciones de correlación de los campos renormalizados son finitas, por lo que también lo es la función de densidad espectral. Por lo tanto, CCR se mantiene hasta una constante de cambio de escala finita. Los campos desnudos se diferencian de los campos renormalizados por los cambios de escala infinitos necesarios para cancelar las divergencias UV.
Por lo tanto, concluiría que las relaciones de conmutación de campos desnudos no tienen sentido cuando se elimina la regularización. Esto concuerda con el punto de vista de que los campos desnudos (y las constantes de renormalización) dejan de existir para $\Lambda \to \infty$ . Solo esperamos que los campos renormalizados sean una aproximación de algún QFT genuino y existente.

AccidentalFourierTransformar · Answer 2

El axioma relevante.

Cualquier campo (canónico), renormalizado o no, satisface, por postulado ,

[ϕ, π] = d

$[\phi,\pi]=\delta$ dónde

π

$\pi$ es el campo conjugado a

ϕ

$\phi$ . En la teoría del campo de Lagrange,

π \overset{d mi F}{=} \frac{\partial L}{\partial \dot{ϕ}}

$\pi\overset{\mathrm{def}}=\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot\phi}$

Caso 1.

Si $\phi$ es un campo no renormalizado,

L = \frac{1}{2} {\dot{ϕ}}_{tu norte}^{2} + \dots

$\mathcal L=\frac12\dot\phi^2_{\mathrm{un}}+\cdots$ después

[ϕ_{tu norte}, {\dot{ϕ}}_{tu norte}] = d

$[\phi_{\mathrm{un}},\dot\phi_{\mathrm{un}}]=\delta$

Caso 2.

Por otro lado, si $\phi$ es un campo renormalizado,

L = \frac{1}{2} Z {\dot{ϕ}}_{r mi}^{2} + \dots

$\mathcal L=\frac12Z\dot\phi^2_{\mathrm{re}}+\cdots$ después

[ϕ_{r mi}, Z {\dot{ϕ}}_{r mi}] = d

$[\phi_{\mathrm{re}},Z\dot\phi_{\mathrm{re}}]=\delta$

El resultado.

En conclusión , los conmutadores canónicos, cuando se expresan en términos de variables de espacio de fase (canónicas), son independientes de la normalización de los campos. Cuando se expresan en términos de, digamos, variables de espacio de configuración, dependen de la normalización de los campos.

Tenga en cuenta también: la regla de la suma de Weinberg citada en el OP generalmente se deriva de un esquema de normalización en el shell (y, en esencia, se puede tomar para definir dicho esquema). En otros esquemas, la regla de la suma claramente sigue siendo válida, después de introducir los factores necesarios de $Z$ .
Como se explica en el comentario a la respuesta anterior, no estoy seguro de si esta respuesta es completamente correcta. Usted afirma que los campos desnudos satisfacen CCR (sin factores Z adicionales) y luego que los campos renormalizados en algún esquema específico satisfacen la regla de suma de Weinberg. Creo que estas declaraciones son contradictorias, porque estos campos están relacionados por reescalado divergente. Posiblemente me estoy perdiendo algún punto fundamental aquí.
Si $\phi$ (renormalizado o no) satisface $\langle\phi\phi\rangle\sim \rho$ , después $\bar\phi\equiv c\phi$ satisface $\langle\bar\phi\bar\phi\rangle\sim\bar\rho$ , dónde $\bar\rho\equiv c^2\rho$ . No hay nada contradictorio en esto: la densidad espectral de un operador arbitrario depende de la normalización del propio operador. Si $c$ es divergente, entonces $\rho$ o $\bar\rho$ serán divergentes (o tal vez ambos). El postulado habitual (que solo funciona para teorías renormalizables) es que los campos renormalizados tienen funciones de correlación finitas (y, por lo tanto, densidades espectrales).

Relaciones de renormalización y conmutación canónica

Blazej

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JeffDror

AlQuemista

JeffDror

Blazej

Blazej

AccidentalFourierTransformar

El axioma relevante.

Caso 1.

Caso 2.

El resultado.

AccidentalFourierTransformar

Blazej

AccidentalFourierTransformar

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