¿Relación entre la conservación de la energía y la conservación de la cantidad de movimiento?

Lo que hay que tener en cuenta es que para las colisiones inelásticas, la energía no se conserva dentro del sistema . Parte de la energía se pierde como energía térmica y, después de todo, se necesita algo de energía para que los bloques se peguen. Sin embargo, esto no significa que la Ley de Conservación de la Energía sea falsa. Simplemente significa que la energía ha abandonado el sistema que estás estudiando (Bloques$A$y$B$). Si tuviera que medir la cantidad de energía que ha dejado el sistema, vería que, en general, la energía aún se conserva.

Como indicador de futuro, generalmente solo asumimos que las colisiones perfectamente elásticas conservan tanto el impulso como la energía.

También me pregunté sobre esto: las limitaciones impuestas a las soluciones de colisiones elásticas por las leyes duales de conservación del momento y la energía cinética, y si existe una combinación de masas que pueda dar como resultado que dos masas se muevan con la misma velocidad después de una colisión. . Muchos aquí han citado como presunción a priori que la situación implica una colisión inelástica, pero no me resultó inmediatamente obvio que esto debía ser así.

Resolver las ecuaciones simultáneas se volvió muy complicado muy rápidamente, así que tracé las ecuaciones para una masa teórica de la unidad uno y velocidad = 2 que choca con una masa estacionaria idéntica en una sola dimensión (tal vez vagones en un riel, o una colisión perfectamente recta de bolas de billar ). Los gráficos muestran los resultados, posteriores a la colisión, para las velocidades de la masa 1 (eje x) y la masa 2 (eje y), bajo conservación del impulso y conservación de la energía cinética. Las únicas soluciones posibles deben satisfacer ambas, así examinamos las intersecciones:

Como se esperaba, hay dos soluciones, una imposible, en la que la masa 1 pasa esencialmente a través de la masa 2 sin obstáculos, sin efecto sobre la masa 1 (velocidad masa 1 = 2, velocidad masa 2 = 0), y la otra (y única solución factible) con la masa 1 deteniéndose e impartiendo todo su impulso a la masa 2, que ahora se aleja con velocidad 2 (piense en la bola blanca que se detiene en seco cuando golpea otra bola de lleno).

Ahora, si consideramos el caso con la masa 2 el doble de la masa 1:

Vemos que la solución factible es aquella en la que la masa 1 más ligera rebota en la masa 2 más pesada (velocidad de la masa 1 ~ -0,65, masa 2 hacia delante a ~ 1,3). Claramente, cualquier caso en el que la masa 1 sea más liviana verá que rebota hasta cierto punto y que la masa 2 es impulsada hacia adelante. Entonces no hay posibilidad de que$m1 < m2$en el que pueden fusionarse con la misma velocidad.

Mirando el caso contrario, con$m1 > m2$, en este caso la masa 1 el doble de la masa 2:

Ahora vemos que la masa 1 retiene el impulso positivo (velocidad ~0,65) y la masa 2 se dispara rápidamente (velocidad ~2,7). De esto podemos deducir que para cualquier$m1 > m2$, m2 alcanzará una velocidad >2, y la masa original 1, tras impartir cierto impulso a la masa2, retendrá la velocidad dentro de los límites #0< v2 < 2$. Una vez más, no existe una solución de dos masas que satisfagan la conservación tanto del impulso como de la energía, lo que permite que las dos masas hagan otra cosa que no sea "rebotar" entre sí en algún grado, ¡que supongo que es lo que podría inferir de una colisión elástica!

No he investigado esto más a fondo, pero no veo ninguna razón para sospechar que el resultado no se generalizaría a colisiones elásticas en las que ambas masas se mueven, oa dos o tres dimensiones.

Además, me interesó encontrar que como proporción de$m1:m2$se incrementó, la velocidad alcanzada por la masa 2 se limitó a 4 (o, sospecho, al doble de la velocidad inicial), nuevamente, supongo que tiene que haber algún límite, especialmente considerando que al mismo tiempo (la masa 1 se vuelve relativamente mucho más pesado) la velocidad de la masa 1 se acerca a un límite de 2 (no se ve afectada por la pequeña masa 2), por lo que hay poca pérdida de impulso y la velocidad de la masa 2 está necesariamente restringida.

Así que espero que pueda ver, como ahora puedo (y como era presumiblemente obvio para los encuestados más experimentados aquí) no hay posibilidad de que ambas masas experimenten la misma velocidad bajo una colisión elástica. ¡Además, que el comportamiento es completamente determinista por solución de las ecuaciones simultáneas!

EDITAR Supongo que tiene sentido que la velocidad máxima posterior a la colisión para la masa 2 sea el doble que la de la masa 1 (relativamente muy pesada); esto se puede ver ajustando el marco de referencia de modo que la masa 1 esté estacionaria y la masa 2 acercándose a ella con velocidad = -2... una masa 1 suficientemente pesada actuará como una pared, y la masa 2 rebotará elásticamente con velocidad = +2, un cambio neto de +4... por lo tanto, la velocidad máxima diferencial$|v2 - v1|$está acotado por la magnitud del diferencial de velocidad inicial (como cuando una partícula rebota en una pared).

Hagamos un ejemplo concreto con números:

Suponer que$v_a = 6m/s$y$v_b = 0 \rightarrow E_k = 0.5 * 6^2 = 18, p_a = 1 * 6 = 6, v_{cm} = p/M = 2$

. Según la conservación de la energía y la cantidad de movimiento:

La energía cinética y la cantidad de movimiento se conservan solo en una colisión elástica perfecta, si los cuerpos se pegan, la colisión es inelástica y solo se conserva la cantidad de movimiento:

Después de la colisión, la velocidad sería menor , ya que la KE debería distribuirse entre más masa, pero algo de KE se pierde en el choque. ¿Cuánto cuesta?

La cantidad de movimiento se conserva:$p_{ab} = 6$, a partir de este dato se puede calcular su velocidad:

Se ha transferido algo de energía a B, pero dos tercios de la energía cinética se han cambiado a otras formas de energía. La ley general de ' conservación de la energía ' no ha sido, de todos modos, violada

La velocidad del centro de masa es la misma, aunque KE ha cambiado.

Tenga en cuenta que la cantidad de movimiento se conserva porque suponemos que en la superficie de contacto no hay fricción .

Un cambio de KE sin un cambio de cantidad de movimiento no solo es posible sino muy frecuente, porque p = mv la cantidad de movimiento varía linealmente y KE cuadráticamente . Puede obtener el mismo producto por una amplia gama de factores: 6 = 6*1, = 3*2, = 2*3, = 1*6, = 0,5*12, etc., diferentes factores dan el mismo impulso

Todos estos factores dan los mismos valores para m*v, pero como la cifra de v debe elevarse al cuadrado, obtienes todos los valores diferentes entre el momento y la energía, por lo tanto, los mismos factores dan el momento = 6, pero KE =3, =6, = 9 , =18, =72, etc., el mismo impulso corresponde a muchos valores diferentes de KE

Para qué casos es ventajoso utilizar Momentum...

Acabas de ver que la conservación de la cantidad de movimiento es vital en las colisiones inelásticas porque la energía no se conserva.

El problema con su solución es que la colisión inelástica y la suposición de que se conserva la energía cinética son mutuamente excluyentes. Puedes ver eso en tus matemáticas cuando tratas de resolver para$v_2$.

Ecuación de reescritura$(1)$da$v_1=\left(m+M\right)v_2/m$que se inserta en$(2)$rendimientos

Esto le dice que una colisión inelástica solo puede ocurrir al mismo tiempo que la conservación de la energía cinética si una de las masas no tiene masa ($M=0$). En esta configuración particular, esto es lo mismo que decir que$M$nunca estuvo presente en primer lugar, y en realidad no hubo ninguna colisión.

Tanto la energía como el impulso se conservan como siempre. Pero para entender por qué esta declaración es cierta, debe observar el sistema tal como lo describió un poco más de cerca:

Para que los bloques A y B se peguen después de la colisión, la fuerza entre ellos debe ser cero cuando la diferencia de velocidad es cero; de lo contrario, esa fuerza continuaría acelerando el bloque B y retardando el bloque A.

Ahora imaginemos un pequeño resorte entre A y B: esto representa la forma en que la fuerza de un objeto sobre otro da como resultado una deformación mutua y el almacenamiento de energía elástica, pero lo estoy convirtiendo en un resorte real (sin masa) para ilustración.

Cuando A hace contacto con el resorte, este resorte comienza a comprimirse y al mismo tiempo B comienza a sentir la fuerza de A. Pero la clave aquí es que el resorte se está comprimiendo. Y que esta compresión significa que se almacena energía. Continúe comprimiendo el resorte hasta que A y B se muevan a la misma velocidad: esto corresponde a la máxima compresión del resorte. A medida que los bloques siguen moviéndose, el resorte comenzará a expandirse nuevamente acelerando aún más a B en relación con A hasta que se separen y el resorte vuelva a tener su longitud natural. Ese es el proceso de una colisión elástica: la energía se almacena elásticamente durante la colisión y se devuelve al final.

Para una colisión inelástica, el "resorte permanece comprimido". movimiento de bloques) permanece allí. Ahora, para una colisión inelástica, el resorte absorbe la energía elástica y la convierte en calor. Esto sigue siendo conservación de energía, pero convierte energía cinética en energía térmica.

Espero que lo anterior aclare las cosas. Debería intentar escribir las matemáticas para este sistema masa-resorte-masa. Avísame si tienes problemas con eso.

aunque el momento y la energía se conservan, pero definitivamente la suma del momento individual de las partículas no es igual a la suma de la KE individual de las partículas. también puede haber un valor diferente de KE para el mismo impulso. Por lo tanto, no puede obtener ningún resultado manipulando las ecuaciones.