¿Por qué no se conserva la cantidad de movimiento en este problema de la polea?

La polea (y el accesorio al techo) son parte del sistema aquí. Debido a esto, no puedes simplemente usar la conservación del momento en las tres masas dadas.

Si la velocidad final fuera$v$, entonces la energía total del sistema habría aumentado ya que tanto la bandeja como el contrapeso se estarían moviendo y la otra masa no se habría ralentizado.

No puede usar las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento solo en una parte de un sistema. Si imaginas una pelota rebotando en el suelo, no puedes decir que el impulso de la pelota se conserva antes y después del rebote. También debe considerar el cambio en el impulso del piso.

En su problema, el cambio en la cantidad de movimiento del techo será pequeño, pero relevante.

Como no conoce el cambio en este componente final, no puede usar la conservación para resolver el momento restante de las otras tres masas.

Cambiemos la situación para hacer esto más explícito. En lugar de un contrapeso, considere dos platos y dos pesos.

Imaginemos que la polea y la cuerda no tienen masa, por lo que las dos bandejas y los dos pesos tienen una masa total de$4m$. Si las bolas tienen una velocidad$v$, entonces el momento total de la polea dentro de la habitación es$1mv + 1mv = 2mv$.

Pero por simetría, podemos ver que la polea no va a girar. Si imaginamos las bandejas en reposo después de la colisión, encontramos que el impulso ahora es$0mv$.

Si la conexión de la polea al techo/habitación/tierra no es parte del sistema, entonces decimos que las fuerzas de esa conexión eran externas y cambiaron el momento total. No podemos usar la conservación del momento debido a fuerzas externas.

Si el techo/la habitación/la tierra son parte del sistema, entonces, después de la colisión, han ganado$2mv$momento descendente, por lo que el sistema total no cambia. Si imaginamos la caja casi sin masa y en una nave espacial en lugar de la Tierra, toda la caja se movería hacia abajo a la misma velocidad.$v/2$después de que las bolas golpean las cacerolas. (asumiendo una colisión completamente inelástica). Cuanto más masiva es la caja, más lento se mueve para retener la velocidad. Considéralo unido a un edificio/tierra, y el momento sigue cambiando, pero el cambio de velocidad ya no se puede medir.

Su cálculo del momento final después de la colisión tiene un error de signo. La polea sirve para cambiar la dirección del movimiento. Esto significa que a una masa que se mueve hacia arriba en el lado izquierdo de la polea se le da un signo matemático de "+" para la velocidad asociada. A medida que la cuerda pasa por la polea, la dirección del movimiento cambia de tal manera que una velocidad hacia abajo en el lado derecho de la polea recibe un signo matemático "+". De este modo,$mV + mV + mV = 3mV$. Desde$V = \frac {v}{3}$,$3mV = mv$, y se conserva la cantidad de movimiento.

Según yo, la cantidad de movimiento de la masa del otro lado no debería ser negativa porque el sistema considerado es un sistema conexo , es decir, la transferencia de cantidad de movimiento a la masa que cuelga del otro lado de la polea es la transferencia de cantidad de movimiento a través de la cuerda de la polea. . Estoy de acuerdo con @BowlOFRed sobre la contribución del impulso transferido al techo, sin embargo, la situación nos pide que consideremos una polea ideal (sin fricción rotacional), lo que implica que la mayoría del impulso transferido a través de la cuerda de la polea afecta la masa en el otro extremo y las contribuciones hacia el techo son insignificantes, por lo que no debería importarnos (EDITAR: Consulte los comentarios). Así que cuando escribimos las ecuaciones,

El techo está aplicando una fuerza total hacia arriba sobre la polea de magnitud$2T$, para contrarrestar la fuerza de igual magnitud aplicada por las masas. Entonces, la fuerza neta sobre el sistema (que consta de tres masas y la polea y la cuerda sin masa) no es cero. Desde$\int {Tdt} = mV = mv/3$,$\int 2Tdt = {2 \over 3} mv$que es la cantidad de impulso perdido.

Hay una tensión transitoria$\Delta T$en la cuerda que dará lugar a un cambio en la cantidad de movimiento del contrapeso, la bandeja y la masa sobre la bandeja. En el techo, la polea transfiere el doble de esta fuerza al soporte:

El cambio en la cantidad de movimiento de los tres componentes es (con + dirección hacia arriba):

Este cambio en el impulso es proporcionado por la reacción$2\Delta T \delta t$en la polea / techo:

Para el contrapeso:

Y para todo el sistema.

Lo cual es consistente con la determinación anterior de que

Tenga en cuenta que si sus dos componentes en el sistema estuvieran en línea recta (cuerda recta, sin polea), el signo del cambio de momento para el contrapeso se invertiría y no habría ningún misterio.

En mi opinión, la afirmación sobre la conservación de la cantidad de movimiento dice que "La cantidad de movimiento de un sistema permanece conservada si ninguna fuerza externa actúa sobre él". Creo que el error que ha cometido es que trató de aplicar el principio de conservación del momento a lo largo de la dirección y, a lo largo de la cual actúa la gravedad (una fuerza externa para el sistema). Entonces, según yo, la conservación del impulso no es válida en la situación mencionada.

Sea I el impulso transferido a la cuerda debido a la caída de la pelota sobre la tabla. Ahora bien, como la gravedad es una fuerza impulsiva ininterrumpida, a efectos de cálculo podría despreciarse. Y el impulso también se transferiría al otro lado de la cuerda.

Sea P' la cantidad de movimiento final y p la cantidad de movimiento inicial. Entonces, I=P'-PI=2mV-mu. -1 Y, -I= mV. -2 Sumando 1 y 2 obtenemos 3mV=mu Entonces,V=u/3.