¿Por qué se pierde la energía cinética máxima en una colisión perfectamente inelástica?

Por lo que puedo decir, lo que necesitamos aquí es una comprensión intuitiva más que matemática. La intuición se vuelve un poco borrosa por las expresiones matemáticas. Pero, si consideramos que los dos cuerpos que chocan tienen la misma masa, las expresiones se simplifican mucho. Si bien no es inmediatamente obvio, los resultados se aplican a combinaciones arbitrarias de masas.

Déjame ser la masa en cuestión$m$. Si llamamos a las velocidades iniciales de los dos cuerpos$\vec{v_1}$y$\vec{v_2}$, y las velocidades finales$\vec{v_1'}$y$\vec{v_2'}$respectivamente, nuestra única restricción es que se debe conservar la cantidad de movimiento. Entonces:

$m \vec{v_1} + m \vec{v_2} = m \vec{v_1'} + m \vec{v_2'}$

Dado que tomamos las masas como iguales, esto se reduce inmediatamente a:

$\vec{v_1} + \vec{v_2} = \vec{v_1'} + \vec{v_2'}$

Ahora, la velocidad del centro de masa (a veces lo llamamos centro de cantidad de movimiento, especialmente cuando se trata de sistemas relativistas) que llamaremos$\vec{V}$es:

$\vec{V} = \frac{m \vec{v_1} + m \vec{v_2}}{m + m}$

Nuevamente, en virtud de masas iguales se reduce fácilmente a:

$\vec{V} = \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

Si transformamos las velocidades iniciales a este nuevo marco, y llamamos a las respectivas velocidades iniciales de los cuerpos en este marco (centro de masa)$\vec{u_1}$y$\vec{u_2}$, ellos son:

$\vec{u_1} = \vec{v_1} - \vec{V}$

$\vec{u_2} = \vec{v_2} - \vec{V}$

Sustitución de la expresión por$\vec{V}$rendimientos:

$\vec{u_1} = \vec{v_1} - \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

$\vec{u_2} = \vec{v_2} - \frac{\vec{v_1} + \vec{v_2}}{2}$

La simplificación conduce a:

$\vec{u_1} = \frac{\vec{v_1} - \vec{v_2}}{2}$

$\vec{u_2} = \frac{\vec{v_2} - \vec{v_1}}{2}$

Ooooh... Entonces,$\vec{u_1}$y$\vec{u_2}$son iguales y opuestos! Esto sugiere la definición de una velocidad relativa:

$\vec{r} = \frac{\vec{v_1} - \vec{v_2}}{2}$

tal que ahora

$\vec{u_1} = \vec{r}$

$\vec{u_2} = -\vec{r}$

¿Por qué todo este problema? Todo este trabajo muestra esencialmente dos cosas:

• En el marco del centro de masa, los cuerpos tienen la misma magnitud y velocidades de dirección opuesta.

• En el marco original, las velocidades se pueden expresar como:

$\vec{v_1} = \vec{V} + \vec{r}$

$\vec{v_2} = \vec{V} - \vec{r}$

Si llamamos a la energía cinética en el marco original$T$, podemos expresarlo como:

$T = \frac{1}{2}m v_1^2 + \frac{1}{2}m v_2^2$

Bien,$v_1^2$es$\vec{v_1}\cdot\vec{v_1}$y$v_2^2$es$\vec{v_2}\cdot\vec{v_2}$. Entonces:

$T = \frac{1}{2}m (\vec{V} + \vec{r})\cdot (\vec{V} + \vec{r}) + \frac{1}{2}m (\vec{V} - \vec{r})\cdot (\vec{V} - \vec{r})$

Ampliemos esta locura:

$T = \frac{1}{2}m (V^2 + r^2 + 2 \vec{V}\cdot\vec{r}) + \frac{1}{2}m (V^2 + r^2 - 2 \vec{V}\cdot\vec{r})$

Aquí, ocurre un pequeño milagro. Hay cancelación perfecta de los productos escalares. Esta cancelación perfecta sólo ocurre cuando$\vec{V}$es la velocidad del centro de masa; para cualquier otro marco se mantendrán los términos cruzados. Como tal, el marco del centro de masa es especial. (Esto funciona igual de bien cuando las masas no son iguales, solo que con expresiones más complicadas).

Nuestra expresión de energía cinética es ahora:

$T = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m r^2 + \frac{1}{2}m r^2$

Ahora, esto es realmente genial. La energía cinética se dividió en dos partes bien diferenciadas. Uno, podemos llamar$T_c$, que es la energía cinética debida al movimiento del centro de masa que es justo:

$T_c = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2$

La segunda parte, que podemos llamar$T_r$, que es la energía cinética debida al movimiento en relación con el centro de masa:

$T_r = \frac{1}{2}m r^2 + \frac{1}{2}m r^2$

Y por supuesto:

$T = T_c + T_r$

Ahora, consideremos lo que sucede después de la colisión. En el marco del centro de masa (que es especial, como sabemos ahora) el momento total inicial es cero ($m \vec{r} - m \vec{r} = \vec{0}$) Entonces, el impulso final debe ser cero. Siguiendo el mismo razonamiento de transformación, las velocidades finales en el marco original se pueden expresar como:

$\vec{v_1'} = \vec{V} + \vec{r'}$

$\vec{v_2'} = \vec{V} - \vec{r'}$

Aquí,$\vec{r'}$es la velocidad relativa en el estado final (después de la colisión). Con prácticamente la misma derivación, la energía cinética final$T'$se puede expresar como (obviamente, en el marco original):

$T' = T_c + T_r'$

$T_c = \frac{1}{2}m V^2 + \frac{1}{2}m V^2$(exactamente igual que antes)

$T_r' = \frac{1}{2}m r'^2 + \frac{1}{2}m r'^2$

Entonces, la energía cinética debida al movimiento del centro de masa no cambia. Eso se debe esencialmente a la conservación del impulso. Lo que puede cambiar es el movimiento relativo al centro de masa, que depende de los detalles (y la elasticidad) de la colisión.

Para un choque perfectamente elástico,

$|\vec{r}| = |\vec{r'}|$

En general, debido a la conservación de la energía:

$|\vec{r'}| \leq |\vec{r}|$

(A menos que se libere algo de energía de otra fuente, pero eso no es lo que estamos considerando aquí).

Para una colisión perfectamente inelástica,$\vec{r'} = \vec{0}$. La energía cinética después de la colisión será simplemente la energía debida al movimiento del centro de masa: el sistema se agrupa y sus "componentes" ya no tienen energía cinética.

Solo para reiterar el punto clave: el marco del centro de masa es especial en el sentido de que la energía cinética en cualquier_otro_marco_de_referencia se puede expresar como la suma de la energía cinética del centro de masa en ese marco de referencia, más las energías cinéticas de los cuerpos en el marco de referencia del centro de masa. Entonces, después de una colisión, dado que no se puede alterar la velocidad del centro de masa de un sistema sin la acción de fuerzas externas, esa parte de la energía cinética queda fija. Lo que puedes perder es la energía cinética de los cuerpos en el sistema debido al movimiento relativo al centro de masa. Y eso sucede solo en el caso de una colisión inelástica perfecta, donde los cuerpos se pegan y están inmóviles en el marco del centro de masa.

Como tal, esa es la mayor cantidad de energía cinética que se puede perder. QED.

Esto se puede convertir fácilmente en un Cálculo-$1$problema de minimización con restricciones.

Quiere minimizar la energía cinética total

dada la restricción de conservación de monmentum

Luego puede mostrar fácilmente (el trabajo que le queda a usted) que$K$se minimiza bajo esta restricción cuando

es decir, cuando los objetos se mueven a la misma velocidad. Por supuesto, dado que esto sucede en una colisión perfectamente inelástica, este tipo de colisión minimiza la energía cinética del sistema.

Es un resultado importante que la energía cinética de un sistema de cualquier número de partículas, sea mínima en el marco de referencia unido al centro de masa . Entonces, si desea perder la máxima energía posible, debe terminar con una configuración final en el marco del centro de masa, de modo que ninguna de las partículas se mueva (Esta es la energía cinética final más baja que puede lograr, es decir, 0). La situación anterior solo es posible si todas las partículas se detienen en el marco del centro de masa justo después de la colisión, en otras palabras, todas las partículas se " pegan" entre sí.

Este argumento es superior a los argumentos proporcionados en otras respuestas, ya que este argumento es válido para cualquier número de partículas que chocan simultáneamente .

Para el caso común de dos partículas, la energía cinética en el marco del centro de masa se puede escribir como

dónde$m_1$y$m_2$son las masas de las partículas, y$v_{\rm rel}$es la magnitud de la velocidad relativa de ambas partículas. Como era de esperar, si ambas partículas dejan de moverse (se quedan estacionarias o se pegan después de la colisión) en el marco de referencia del centro de masa$v_{\rm rel}$se vuelve cero y también lo hace la energía cinética. Y esta es la razón física que estás buscando.

Pero el hecho de que ke sea 0 en algún marco no significa que sea el mínimo posible en todos los demás marcos, ¿o sí?

Me gustaría hacer hincapié en algo importante: ! La energía cinética nunca puede ser negativa.

¡Cero es la energía cinética mínima posible!

---

Solo un poco de contexto:

El marco de referencia del centro de masa es especialmente útil en el estudio de colisiones nucleares.

Solo mira aquí .

De acuerdo con el Teorema de Noether , si hacemos una transformación galileana y le damos a un sistema de partículas en movimiento un momento total de$\vec p$, entonces$\vec p - m_{tot}\vec v_{cm}=0$, dónde$m_{tot}$la masa total de las partículas, y$\vec v_{cm}$la velocidad del marco del centro de masa.
Esto significa que, independientemente de$\vec v_{cm}$, siempre podemos transformar el marco CM en movimiento en un marco CM con velocidad cero, en el que es obvio que después de una colisión inelástica las partículas se mantienen juntas y tienen momento cero y, por lo tanto, velocidad cero (la definición misma de un sistema inmóvil). El marco CM es el marco en el que el momento total permanece cero antes y después de la colisión), lo que significa que la energía cinética tiene el mínimo de cero julios.

Para una colisión perfectamente inelástica, hay un marco de referencia (el marco del centro del momento) en el que el estado final tiene energía cinética cero y cero es el mínimo absoluto.

Mi pregunta es, ¿por qué, de todas las combinaciones posibles de velocidades finales que conservan la cantidad de movimiento, esta conduce a la mayor pérdida de energía cinética?

Hay una linda interpretación geométrica que quiero mostrar.

Consideraremos las colisiones en una dimensión. Dejar$m_1$,$m_2$sean las masas de los dos objetos;$v_1$,$v_2$ser las velocidades.

Las velocidades de los dos objetos se pueden representar, mediante alguna modificación, como puntos en un plano. Desde

podríamos inspirarnos para trazar nuestros puntos como

Ahora bien, si consideramos una instantánea específica en el tiempo, el conjunto de todos los puntos que tienen una KE constante se define mediante un círculo :

centrado alrededor del origen, con radio$\sqrt{2\,\text{KE}}$.

Asimismo, dado que la conservación de la cantidad de movimiento se define como

el conjunto de todos los puntos que tienen un momento constante está definido por una línea :

Si imaginamos que las velocidades iniciales son un punto preexistente en el plano, una colisión se representa como un hipo discontinuo. La conservación de la energía cinética como un círculo y la conservación del impulso como una línea , en la mayoría de los casos, delinearán otra intersección. Esta intersección denota una colisión elástica.

Sin embargo, si se pierde energía cinética, como en una colisión inelástica, estamos confinados a un disco dentro del plano. La fusión con la conservación del impulso nos aprisiona en un segmento de línea, que se muestra a continuación en azul.

¿Dónde en este segmento de línea perdemos la mayor cantidad de energía cinética? El radio de nuestro$\text{KE}$círculo fue definido por$\sqrt{2\,\text{KE}}$, lo que significa que queremos que nuestro nuevo punto, mientras aún se encuentre en el segmento de momento conservado, esté lo más cerca posible del origen.

En otras palabras, si trazáramos una línea desde el origen hasta el punto más inelástico, sería perpendicular a la línea de momento.

Pero la pendiente de la línea de impulso ya se da como$-\sqrt{m_1/m_2}\,$. Entonces la línea más inelástica debe tener la ecuación

Tenga en cuenta que este teorema es invariante de las condiciones iniciales, como se esperaba.

$\rule[0.1pt]{300pt}{0.4pt}$

Para conectar esta respuesta a la discusión sobre el cambio de marcos de referencia, simplemente tenga en cuenta que un cambio en el marco corresponde a las traslaciones del origen sobre el$\sqrt{m_2/m_1}$línea; la recta de inelasticidad perfecta. Cuando el origen aterriza en la línea de impulso, este marco es el marco del centro de masa.

Esta interpretación se inspiró en un video de youtube de 3Blue1Brown .

Si entiendo su pregunta correctamente, entonces la respuesta sería simplemente darse cuenta de lo que hace el marco COM en un problema de dos cuerpos. Si recuerda, un problema de dos cuerpos se puede convertir en un problema de un cuerpo en el marco COM. Esto significa que las ecuaciones de movimiento para el ahora nuevo cuerpo son equivalentes al escenario original.

Dado que la energía cinética (al menos clásicamente) no puede ser negativa, el mínimo corresponde a que sea cero (con pérdida máxima), por lo tanto, no puede ser más bajo para ningún otro cuadro.

Ahora lo que quiero decir con esto es. Tomemos esta colisión inelástica de algún otro marco donde el KE tiene algún valor. Si en cambio esta colisión fuera elástica, calcular KE a partir del marco elegido$ daría un valor mayor que el del caso anterior. Entonces, básicamente, obtener el valor más mínimo posible (= 0) para KE del marco COM implica que si hubiera elegido cualquier otro marco donde KE no fuera cero, una colisión elástica observada desde este marco dará una mayor KE y por lo tanto una pérdida menor. La clave es que para comparar colisiones elásticas e inelásticas, debe apegarse a un marco, sea lo que sea.

Si no quiere cálculo y necesita una interpretación física, aquí hay una: -

El significado de colisión inelástica es que alguna energía de colisión se transforma en energía potencial, ya sea cambiando de forma, calor o sonido, etc.

Entonces, en una colisión inelástica perfecta, la cantidad máxima de energía se convierte en energía potencial. Y por conservación de la energía, se pierde la máxima energía cinética. (Considerando el medio ambiente como parte del sistema).