La distancia entre la potencia de 3 y la mayor potencia de 2

Question

La distancia entre la potencia de 3 y la mayor potencia de 2

enteros
asintóticos
Matemáticas
aproximación
teoría de los números
exponenciación

j. cierva

Para algún entero positivo $k \gg 1$ , el mayor índice de bits de $3^k$ es dado por

metro \equiv ⌊ k {registro}_{2} 3 ⌋

$m \equiv \lfloor k\log_2 3 \rfloor$

la distancia entre $3^k$ y $2^m$ Se puede escribir como

3^{k} - 2^{metro} \equiv a_{k} \cdot 2^{metro}

$3^k - 2^m \equiv a_k \cdot 2^m$ dónde

0 < a_{k} < 1

$0 \lt a_k \lt 1$ .

Mis preguntas son:

¿Es cierto que $a_k \gtrsim 10^{-c}$ , dónde $c$ es una constante positiva. ¿Cómo puedo probar o refutar esto?
Si la viñeta 1 es verdadera, ¿cómo estimo la constante $c$ ?

Como nota al margen, he calculado numéricamente para $k$ hasta 10.000. Parece que el valor de $a_k$ mantenido en un rango estable en $(0, 1)$ , y podría ser tan pequeño como $\sim \mathcal{O}(10^{-6})$ .

Exodd

Creo que esto ( mathoverflow.net/questions/116840/… ) prueba que no existe tal

c

$c$

j. cierva

@Arthur Realmente no hay una razón obvia.

c

$c$ definitivamente podría ser no enteros, creo. Editaré y actualizaré mi pregunta para eliminar este límite.

Tomas Andrews

Los valores más pequeños de

a

$a$ será cuando

m / k

$m/k$ es una fracción continua impar de

\log_{2} 3.

$\log_2 3.$

j. cierva

@Exodd Gracias por el enlace. Sí, prueba que el límite inferior de

a

$a$ depende de

m

$m$ . Sin embargo, la estimación de la constante en ese enlace no coincide correctamente con lo que observé numéricamente, si es que no me he perdido nada.

Tomas Andrews

Desde

a

$a$ depende de

k .

$k.$ deberías escribirlo como

a_{k}

$a_k$

PM 2 Anillo

Puede que le guste esta pregunta sobre las representaciones racionales de

\log_{2} (3)

$\log_2(3)$ math.stackexchange.com/q/3981318/207316

j. cierva

@ThomasAndrews Reedité para actualizar

a

$a$ ->

a_{k}

$a_k$ .

Respuestas (2)

La distancia entre la potencia de 3 y la mayor potencia de 2

Creo que esto ( mathoverflow.net/questions/116840/… ) prueba que no existe tal $c$
@Arthur Realmente no hay una razón obvia. $c$ definitivamente podría ser no enteros, creo. Editaré y actualizaré mi pregunta para eliminar este límite.
Los valores más pequeños de $a$ será cuando $m/k$ es una fracción continua impar de $\log_2 3.$
@Exodd Gracias por el enlace. Sí, prueba que el límite inferior de $a$ depende de $m$ . Sin embargo, la estimación de la constante en ese enlace no coincide correctamente con lo que observé numéricamente, si es que no me he perdido nada.
Puede que le guste esta pregunta sobre las representaciones racionales de $\log_2(3)$ math.stackexchange.com/q/3981318/207316

Tomas Andrews · Answer 1

Cuando $\frac mk$ es una fracción continua impar para $\log_2 3$ entonces:

0 \leq {registro}_{2} 3 - \frac{metro}{k} < \frac{1}{k^{2}}

$0\leq \log_2 3 - \frac{m}{k}<\frac1{k^2}$

Entonces

3^{k} = 2^{k {registro}_{2} 3} < 2^{metro + \frac{1}{k}}

$3^k=2^{k\log_2 3}< 2^{m+\frac1k}$

Entonces:

3^{k} - 2^{metro} < 2^{metro + 1 / k} - 2^{metro} = 2^{metro} (2^{1 / k} - 1)

$3^k-2^m<2^{m+1/k}-2^{m}=2^{m}\left(2^{1/k}-1\right)$

Entonces: $a=a_k\leq 2^{1/k}-1.$ Podemos hacer eso arbitrariamente pequeño.

Las fracciones continuas son infinitas y la mitad de ellas serán impares. (Los términos de fracciones continuas pares te dan ejemplos donde $2^m>3^k$ pero la diferencia es pequeña.)

por ejemplo, cuando $k=12,m=19,$ $a_k\approx .0136.$ Cuando $k=53,m=84,$ entonces $a_k\approx 0.00209.$

Cuando $m/k$ es una fracción continua par para $\log_2 3,$ entonces

2^{metro} > 3^{k} > 2^{metro - 1}

$2^{m}>3^{k}> 2^{m-1}$ entonces:

3^{k} = 2^{k {registro}_{2} 3} > 2^{metro - \frac{1}{k}}

$3^{k}=2^{k\log_2 3}>2^{m-\frac{1}{k}}$ y:

3^{k} - 2^{metro - 1} > 2^{metro - 1} (2^{1 - 1 / k} - 1)

$3^{k}-2^{m-1}>2^{m-1}(2^{1-1/k}-1)$

Entonces para $m/k$ una fracción continua par, como $8/5$ o $65/41,$ usted obtiene $a_k\to 1.$

Entonces hay valores de $a_k$ arbitrariamente cerca de $0,$ y $a_k$ arbitrariamente cerca de $1.$

No estoy siguiendo la primera desigualdad. $0\leq \log_2 3 - \frac{m}{k}<\frac1{k^2}$ . No estoy al tanto de la expansión en fracciones continuas impares para $log_2 3$ , cualquiera. Cuando comprobé sus valores numéricamente. parece que cuando $k log_2 3$ tiene la fracción menor que $0.5$ , el obtenido $m/k$ es lo que llamas la fracción continua impar para $log_2 3$ . ¿Podría explicar un poco cómo se puede obtener la primera desigualdad?
Las fracciones continuas de un número irracional $\alpha$ son una sucesion de numeros racionales $p_n/q_n$ con $|\alpha-p_n./q_n|<1/q_n^2.$ Cuando $n$ es impar, $p_n/q_n<\alpha,$ cuando $n$ es par, entonces $p_n/q_n>\alpha.$ Hay mucho que leer sobre fracciones continuas; estas no son típicas $m,k$ pero solo un conjunto especial de casos donde obtenemos "buenas" aproximaciones de $\log_2 3.$ @J.Doe
En estos casos, $k\log_2 3$ estará "cerca" de un número entero, no solo tendrá partes fraccionarias $<0.5.$ El punto es que siempre podemos encontrar más grande $k$ con la parte fraccionaria de $k\log_2 3$ menos que $\frac{1}{k}.$
Tengo una pregunta más. En el resultado final de la fracción continua impar para $log_2 3$ , a saber, $a=a_k\leq 2^{1/k}-1.$ Aquí sabemos que no existe el límite inferior para $a_k$ . Sin embargo, ¿hay alguna forma de demostrar que el $2^{1/k}-1$ , o algo similar, es qué tan rápido el valor más pequeño de $a_k \rightarrow 0$ ? Realmente aprecio tu respuesta.
En la última pregunta, no hay realmente una manera. Es posible que $\log_2 3-m/k<1/k^3$ o incluso menor para valores infinitos de $k.$ @J.Doe
Por favor, carguen con mi ignorancia sobre este tema. ¿Es la existencia de infinitos valores de $k$ eso " $log_2 3 - m/k \lt 1/k^3$ o incluso más pequeño" un resultado probado en alguna parte?

Óscar Lanzí · Answer 2

No hay $N$ tal que $a_k$ Esta abajo $1/3$ para todos $k>N$ .

para suponer $a_k<(1/3)$ para algunos $k$ . Entonces $2^m<3^k<(4/3)2^m$ . Multiplicar por $3$ Llegar $(3/2)2^{m+1}<3^{k+1}<2^{m+2}$ forzando el valor siguiente, $a_{k+1}$ , exceder $1/2$ .

mmm interesante. Pero aquí hay un ejemplo numérico que parece contradecir. $k = 31867$ , $m = 50508$ , $a_k = 0.00000726$ .
@ J.Doe Esta respuesta es sobre todo $k.$ Puede haber pequeños ejemplos individuales y esto seguiría siendo cierto.
Simplemente use el algoritmo de Euclides para encontrar múltiplos de log_2(3) que sean arbitrariamente cercanos a un número entero.

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