Derivación de la ley de transformación para los símbolos de Christoffel

Soy estudiante de primer año y me enseño Relatividad General del libro de Bernard Schutz. En uno de los problemas pide derivar la ley de transformación para los símbolos de Christoffel a partir de la definición:

$$\begin{equation} \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} \vec{e}_{\mu} = \frac{\partial \vec{e}_{\alpha}}{\partial x^\beta}.\tag{1} \end{equation}$$ Después de mucho álgebra y usando las leyes de transformación para las cantidades 'conocidas', llegué a: $$\begin{equation} \Gamma^{\mu '}_{\alpha '\beta '} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\gamma}}\frac{\partial^2x^\gamma}{\partial x^{\beta '}\partial x^{\alpha '}}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\alpha '}}\frac{\partial x^p}{\partial x^{\beta '}}\Gamma^{\gamma}_{\sigma p}.\tag{2} \end{equation}$$ Ahora Wikipedia dice que el orden de las derivadas parciales se intercambia en el primer término. Pero la expresión que obtengo a través de los primeros principios es la de arriba. Sin embargo, Schutz menciona hacia el final del capítulo que, para una base no coordinada, la definición del símbolo de Christoffel cambia y, por lo tanto, el que se usó para derivar lo anterior solo es válido para una base coordinada en la que se pueden intercambiar las derivadas parciales. Entonces, según esa suposición, dado que la base para esta derivación es la coordenada, puedo cambiar el orden de las derivadas parciales anteriores y obtener la expresión: $$\begin{equation} \Gamma^{\mu '}_{\alpha '\beta '} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^{\gamma}}\frac{\partial^2x^\gamma}{\partial x^{\alpha '}\partial x^{\beta '}}+\frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\gamma}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial x^{\alpha '}}\frac{\partial x^p}{\partial x^{\beta '}}\Gamma^{\gamma}_{\sigma p}.\tag{3} \end{equation}$$ que es el de los textos estándar y Wikipedia. ¿Estoy en lo cierto al razonar así? Me disculpo si sueno ingenuo ya que es la primera vez que aprendo el material.