En la clasificación de Wigner, se observa que el grupo completo de automorfismos de la variedad lorentziana es precisamente el conocido grupo de Poincaré. Motivados por esto y por principios básicos de la mecánica cuántica, se estudian luego sus representaciones proyectivas irreductibles (pasando a representaciones unitarias de la cubierta).
Mi pregunta es esta: ¿cómo debo pensar en la relación entre el espacio (proyectivo) de Hilbert y la variedad espacio-tiempo real? Si estoy en un marco y alguien más está en un marco diferente relacionado con el mío a través de la transformación , ¿cómo induce esto una transformación en el espacio de Hilbert? Si no me equivoco, no debería pensar en que ambos observadores tengan diferentes espacios de Hilbert asociados, sino que de alguna manera da lugar a un automorfismo proyectivo de . No veo cómo sucede esto (excepto tal vez solo a través de la representación regular si el espacio de Hilbert resulta ser una de ciertas funciones en pero este no tiene por qué ser el caso si solo consideramos el giro, por ejemplo.
Tal vez esta es una pregunta tonta, pero espero haber logrado transmitir mi confusión.
Según entiendo las cosas, los vectores (kets) que representan partículas están en el espacio de Hilbert dimensional muy grande. El espacio de Hilbert no es "espacio-tiempo". Las representaciones del grupo de Poincaré actúan sobre los kets en el espacio de Hilbert para rotar, impulsar y trasladar los kets según los parámetros del grupo de Lie . El grupo de Poincaré actúa sobre sus propios generadores por conjugación tal que bajo su subgrupo de rotación, rotar como 3-vectores, y bajo su subgrupo de Lorentz, se transforma como un cuadrivector. Es el espacio de los parámetros del Grupo de Lie que llamáis "espacio-tiempo".
¿Cómo debo pensar sobre la relación del espacio de Hilbert con el espacio-tiempo?
Esto fue algo así como un rompecabezas para mí cuando aprendí por primera vez sobre QM. Tanto en la mecánica clásica como en la SR y la GR todo se sitúa en el espacio y el tiempo.
El espacio de estados de Hilbert sobreviene al espacio-tiempo. Este es un término filosófico que significa 'un hecho o una propiedad está relacionado o es consecuencia de la existencia o establecimiento de otro'. Generalmente el primero es un fenómeno de nivel superior y el segundo de nivel inferior.
De hecho, la estructura matemática y física de QM no dice dónde se encuentra este espacio de Hilbert. No está en ninguna parte. Este es un rompecabezas ontológico que pone en la sombra la especulación sobre dimensiones espaciales más altas en la teoría de cuerdas. Al menos allí, sabemos de qué estamos hablando, incluso si no tenemos una verificación experimental directa de tal hipótesis.
Si yo estoy en un marco X y alguien más está en un marco Y, ¿cómo se relaciona el espacio de Hilbert en X con el de Y?
No estoy seguro de esto. Es una buena pregunta. Lo que puedo decir es que en la cuantificación canónica en QFT, las reglas de conmutación de tiempo igual se aplican en momentos y posiciones en diferentes ubicaciones en el espacio pero al mismo tiempo. Esto sin embargo, parece romper la relatividad, pues allí se niega el concepto y posibilidad de simultaneidad.
logan m
Tomas Bakx
Mozibur Ullah