Fijación de la fase de los coeficientes de Clebsch Gordan para jjjs más pequeños que el valor máximo

Los coeficientes de CG generalmente se determinan construyendo primero el estado más alto en cada irrep, es decir, el estado para el cual$M=J$. Este estado está determinado por el requisito de que debe ser asesinado por$L_+$, es decir

$$L_+\vert \ell ,s,j,j\rangle=0$$ De esto se puede obtener una relación de recurrencia para todos los CG necesarios para el estado más alto $\vert \ell ,s,j,j\rangle$, y esta recursión se puede determinar completamente en términos de $C^{\ell,m_s}$con $m_s=j-\ell$. Esto es suficiente para fijar las fases relativas de los CG para el estado más alto, pero no para la fase general . En el conocido ejemplo de $\ell=1/2$y $s=1/2$, los Estados $$\vert 00\rangle_\pm=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \vert \textstyle\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2} ,-\frac{1}{2}\rangle -\vert \frac{1}{2} ,-\frac{1}{2}\rangle \vert \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle \right)\, . \tag{1}$$ ambos son asesinados por $L_+=L_+^{(1)}+L_+^{(2)}$.

el coeficiente$C^{\ell,m_s}$a menudo se evalúa utilizando una condición de normalización, por lo que su signo es arbitrario. La convención de fase habitual de Condon-Shortley es elegir como positivo el coeficiente$C^{\ell,m_s}$del Estado$\vert \ell,\ell\rangle \vert s,j-\ell\rangle$, es decir, mantener el$\vert 00\rangle_+$estado en el ejemplo de (1). Esta convención de fase es, con mucho, la más utilizada.

Una vez establecidas las fases relativas de este estado superior, la fase de los otros coeficientes con$m_j\ne j$seguir de la acción del operador de bajada.

No hay nada tan ampliamente aceptado como la convención de Condon-Shortly para la fase de CG para representaciones de otras (Lie) álgebras, vg$su(3)$. De hecho, ni siquiera hay acuerdo sobre los signos de los elementos de la matriz generadora, aunque a menudo se adopta el esquema de Gelfan'd Zeitlin como elementos de matriz asociados (este esquema puede volverse engorroso para las manipulaciones algebraicas).

El procedimiento general sigue siendo el mismo: encuentre el estado más alto requiriendo que todos los operadores de elevación lo eliminen, fije el signo de un coeficiente semilla de la recursión para el estado más alto y use los operadores de disminución para obtener los coeficientes restantes.

Beyond Mathematica (que tiene una función incorporada ClesbshGordan para el$su(2)$caso), hay una interfaz basada en web para calcular numéricamente$su(N)$CG para cualquier$N$utilizando la base Gelfan'd Zeitlin.

Hay un grado de ambigüedad aquí, porque los estados$\left|1,\tfrac12, \tfrac12,\tfrac12\right>$y$\left|1,\tfrac12,\tfrac32,\tfrac12\right>$vivir en diferentes representaciones, y si aplicara una fase global a la totalidad de la$j=1/2$representación las consecuencias serían bastante limitadas. Sin embargo, dado que queremos tener una única definición inequívoca de los coeficientes de Clebsch-Gordan (como se da, por ejemplo, en el capítulo 34 del DLMF , específicamente en las ecuaciones 34.1.1 y 34.2.4), necesitamos corregir esa fase.

El criterio central para esto se da en §3.4 de Momento angular en mecánica cuántica de Edmonds , y en resumen es que requiere que

Todos los elementos de la matriz de$J_{1x}$que no son diagonales en$j$son reales y no negativos.

Esto presupone la condición de que si fijas la fase de la$m_J=j$estado utilizando un elemento de la matriz a un estado en un diferente$j$representación, entonces todos los posibles elementos de la matriz entre las dos representaciones también tendrán esa propiedad. Esto no es trivial y la prueba está en Edmonds, pero no tiene sentido repetirlo aquí.

Si desea volver a verificar su trabajo, un truco útil es calcular el coeficiente en Mathematica (es decir, como ClebschGordan[{1/2, 1/2}, {1, 0}, {1/2, 1/2}] , o más generalmente usando la sintaxis ClebschGordan[{j1, m1}, {j2, m2}, {j, m}]), o pidiéndole a Wolfram Alpha que haga ese cálculo por usted .