Relación de incertidumbre para observación no simultánea

Question

Relación de incertidumbre para observación no simultánea

Física
operadores
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

hyportnex

La relación de incertidumbre de Heisenberg en la formulación de Robertson-Schroedinger se escribe como,

σ_{A}^{2} σ_{B}^{2} \geq {| \frac{1}{2} ⟨ {\hat{A}, \hat{B}} ⟩ - ⟨ \hat{A} ⟩ ⟨ \hat{B} ⟩ |}^{2} + {| \frac{1}{2} ⟨ [\hat{A}, \hat{B}] ⟩ |}^{2}

$\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left|\frac{1}{2} \langle\{\hat A, \hat B\}\rangle -\langle \hat A\rangle\langle \hat B\rangle\right|^2+\left|\frac{1}{2}\langle[\hat A,\hat B]\rangle\right|^2$ dónde

σ_{A}^{2} = ⟨ ψ | (\hat{A} - ⟨ \hat{A} ⟩)^{2} | ψ ⟩

$\sigma_A^2 = \langle\psi|(\hat A-\langle \hat A \rangle)^2 |\psi\rangle$ y

σ_{B}^{2} = ⟨ ψ | (\hat{B} - ⟨ \hat{B} ⟩)^{2} | ψ ⟩

$\sigma_B^2 = \langle\psi|(\hat B-\langle \hat B \rangle)^2 |\psi\rangle$ calculado en el mismo estado

ψ

$\psi$ para ambos observables

\hat{A}

$\hat A$ y

\hat{B}

$\hat B$ .

Ahora mi pregunta es qué sucede con el otro lado de la desigualdad si calculamos una varianza para el estado $\psi(t)$ y luego dejar que el estado evolucione a $\psi(t+\delta t)$ y ahora calcule la otra varianza en el producto. En otras palabras, cuál es el límite inferior QM de este producto:

⟨ ψ (t) | (\hat{A} - ⟨ \hat{A} ⟩)^{2} | ψ (t) ⟩ ⟨ ψ (t + d t) | (\hat{B} - ⟨ \hat{B} ⟩)^{2} | ψ (t + d t) ⟩

$\langle {\psi(t)|(\hat A -\langle \hat A\rangle)^2|\psi(t)\rangle} ~\langle {\psi(t+\delta t)|(\hat B -\langle \hat B\rangle)^2|\psi(t+\delta t)\rangle}$ por arbitrario

δ t

$\delta t$ y

ψ (t)

$\psi(t)$ evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schroedinger dependiente del tiempo

\hat{H} ψ (t) = i ℏ \frac{\partial ψ (t)}{\partial t} ?

$\hat H \psi(t)=i \hbar\frac{\partial \psi(t)}{\partial t}~?$

hyportnex

Me sorprende que esto se interprete como un problema de "tarea" o "fuera de tema". Nunca he visto preguntado antes. ¿La respuesta es tan obvia para ti @Danu, Prahar, Jim, JamalS, Brandon Enright? El "RHS" debe depender de alguna manera de

\hat{H}

$\hat H$ Simplemente no sé cómo, y votar negativamente no resuelve el problema. La respuesta que se ofrece a continuación es evidente y ciertamente incorrecta.

kyle kanos

Ya que

| ψ (t) ⟩ = \exp (i t \hat{H} / ℏ) | ψ (0) ⟩

$|\psi(t)\rangle=\exp\left(it\hat{H}/\hbar\right)|\psi(0)\rangle$ , probablemente podrías escribir

| ψ (t + δ t) ⟩

$|\psi(t+\delta t)\rangle$ utilizando este operador de evolución temporal. Esto probablemente requerirá que sepas

[\hat{H}, \hat{B}]

$[\hat{H},\,\hat{B}]$ .

Emilio Pisanty

En resumen, esto puede ser cero. En la imagen de Heisenberg, es posible que

B (0)

$B(0)$ ser canónicamente conjugado a

A (0)

$A(0)$ , y luego 'rotar' en

B (Δ t) = A (0)

$B(\Delta t)=A(0)$ . Los ejemplos son fáciles de encontrar con

x

$x$ y

p

$p$ en un oscilador armónico, o

σ_{x}

$\sigma_x$ y

σ_{y}

$\sigma_y$ para un sistema de dos niveles donde

H \propto σ_{z}

$H\propto \sigma_z$ .

Martín

Nota física: aquí no hay "observaciones no simultáneas". O mide un sistema, en cuyo caso el estado cuántico se alterará y después de un tiempo NO tendrá

| ψ (t + δ t) ⟩

$|\psi(t+\delta t)\rangle$ , o no lo hará, en cuyo caso no tiene una observación. También tenga en cuenta que la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger no se trata de mediciones simultáneas, se trata de variaciones de observables después de la preparación.

pppqqq

Hola hyportnex, es

⟨ B ⟩

$\langle B\rangle$ ser entendido como

⟨ s (t + d t) | B | s (t + d t) ⟩

$\langle s(t+dt)\vert B\vert s(t+dt)\rangle$ o

⟨ s (t) | B | s (t) ⟩ ?

$\langle s(t)\vert B\vert s(t)\rangle?$

hyportnex

@pppqqq el promedio

⟨ \hat{V} ⟩

$\langle \hat V \rangle$ para algunos observables

\hat{V}

$\hat V$ depende del tiempo

V (t) = ⟨ ψ (t) | \hat{V} | ψ (t) ⟩

$V (t) = \langle \psi(t) | \hat V| \psi (t) \rangle$ , y estoy preguntando cuál es el mínimo del producto de las varianzas de dos observables cuando las varianzas se miden en tiempos diferentes. Así que un observable se mide en

t

$t$ y el otro observable se mide en

t + δ t

$t+\delta t$ . (Una varianza de un observable es un observable, es decir, un operador lineal en el espacio de Hilbert).

pppqqq

Técnicamente no, no es un observarble, por la parte dependiente del estado

⟨ A ⟩

$\langle A \rangle$ , y la notación

⟨ A ⟩

$\langle A \rangle$ podría ser ambiguo. En este caso.

glS

¿Qué quiere decir con " límite inferior de QM " aquí? El valor más pequeño posible que puede tener esta expresión (en cuyo caso uno probablemente puede resolver un caso en el que es cero), o para una elección fija de

A, B

$A,B$ y

| ψ (t) ⟩

$\lvert\psi(t)\rangle$ ¿Cuál es el mínimo con respecto a

δ t

$\delta t$ ? ¿O algo mas?

hyportnex

@glS por "QM" Solo quiero decir eso

ψ (t)

$\psi(t)$ evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Me gustaría ver una estimación del producto de las varianzas como alguna función de

δ t

$\delta t$ . No hay duda de que puede ser cero para algunos

δ t

$\delta t$ pero debe haber una función estimada a una variación de primer orden a medida que cambia del HUP conocido con

δ t = 0

$\delta t =0$ limite a otra cosa. ¿Cuál es esa función?

hyportnex

El comentarista de @glS, Martin, tiene razón en que, estrictamente hablando, no hay "observaciones simultáneas", ya que este último es solo una forma abreviada de tener dos sistemas preparados de manera similar y los dejamos evolucionar de forma independiente, en uno que medimos.

A

$A$ y en el otro

B

$B$ . La pregunta es la misma y hasta ahora no tiene respuesta.

Respuestas (3)

Relación de incertidumbre para observación no simultánea

Me sorprende que esto se interprete como un problema de "tarea" o "fuera de tema". Nunca he visto preguntado antes. ¿La respuesta es tan obvia para ti @Danu, Prahar, Jim, JamalS, Brandon Enright? El "RHS" debe depender de alguna manera de $\hat H$ Simplemente no sé cómo, y votar negativamente no resuelve el problema. La respuesta que se ofrece a continuación es evidente y ciertamente incorrecta.
Ya que $|\psi(t)\rangle=\exp\left(it\hat{H}/\hbar\right)|\psi(0)\rangle$ , probablemente podrías escribir $|\psi(t+\delta t)\rangle$ utilizando este operador de evolución temporal. Esto probablemente requerirá que sepas $[\hat{H},\,\hat{B}]$ .
En resumen, esto puede ser cero. En la imagen de Heisenberg, es posible que $B(0)$ ser canónicamente conjugado a $A(0)$ , y luego 'rotar' en $B(\Delta t)=A(0)$ . Los ejemplos son fáciles de encontrar con $x$ y $p$ en un oscilador armónico, o $\sigma_x$ y $\sigma_y$ para un sistema de dos niveles donde $H\propto \sigma_z$ .
Nota física: aquí no hay "observaciones no simultáneas". O mide un sistema, en cuyo caso el estado cuántico se alterará y después de un tiempo NO tendrá $|\psi(t+\delta t)\rangle$ , o no lo hará, en cuyo caso no tiene una observación. También tenga en cuenta que la relación de incertidumbre de Robertson-Schrödinger no se trata de mediciones simultáneas, se trata de variaciones de observables después de la preparación.
Hola hyportnex, es $\langle B\rangle$ ser entendido como $⟨ s (t + d t) | B | s (t + d t) ⟩$ $\langle s(t+dt)\vert B\vert s(t+dt)\rangle$ o $⟨ s (t) | B | s (t) ⟩ ?$ $\langle s(t)\vert B\vert s(t)\rangle?$
@pppqqq el promedio $\langle \hat V \rangle$ para algunos observables $\hat V$ depende del tiempo $V (t) = \langle \psi(t) | \hat V| \psi (t) \rangle$ , y estoy preguntando cuál es el mínimo del producto de las varianzas de dos observables cuando las varianzas se miden en tiempos diferentes. Así que un observable se mide en $t$ y el otro observable se mide en $t+\delta t$ . (Una varianza de un observable es un observable, es decir, un operador lineal en el espacio de Hilbert).
Técnicamente no, no es un observarble, por la parte dependiente del estado $\langle A \rangle$ , y la notación $\langle A \rangle$ podría ser ambiguo. En este caso.
¿Qué quiere decir con " límite inferior de QM " aquí? El valor más pequeño posible que puede tener esta expresión (en cuyo caso uno probablemente puede resolver un caso en el que es cero), o para una elección fija de $A,B$ y $\lvert\psi(t)\rangle$ ¿Cuál es el mínimo con respecto a $\delta t$ ? ¿O algo mas?
@glS por "QM" Solo quiero decir eso $\psi(t)$ evoluciona de acuerdo con la ecuación de Schrödinger. Me gustaría ver una estimación del producto de las varianzas como alguna función de $\delta t$ . No hay duda de que puede ser cero para algunos $\delta t$ pero debe haber una función estimada a una variación de primer orden a medida que cambia del HUP conocido con $\delta t =0$ limite a otra cosa. ¿Cuál es esa función?
El comentarista de @glS, Martin, tiene razón en que, estrictamente hablando, no hay "observaciones simultáneas", ya que este último es solo una forma abreviada de tener dos sistemas preparados de manera similar y los dejamos evolucionar de forma independiente, en uno que medimos. $A$ y en el otro $B$ . La pregunta es la misma y hasta ahora no tiene respuesta.

Valter Moretti · Answer 1

El límite inferior solicitado ya es cero para $X$ y $P$ como voy a demostrar.

Consideremos la transformada de Fourier-Plancherel $F: L^2(\mathbb{R},dx)\to L^2(\mathbb{R},dx)$ , formalmente para funciones integrables (de lo contrario, es necesaria una extensión adicional)

(F ψ) (X) = \frac{1}{(2 π)^{1 / 2}} \int_{R} {mi}^{i X y} ψ (y) d X

$(F\psi)(x) = \frac{1}{(2\pi)^{1/2}} \int_{\mathbb R} e^{ixy} \psi(y) dx$ Es claro que si

ψ

$\psi$ está muy concentrada en torno al valor

p_{0} / ℏ

$p_0/\hbar$ , después

F ψ

$F\psi$ tiende a acercarse

C o norte s t . \frac{{mi}^{i {pags}_{0} X / ℏ}}{(2 π)^{1 / 2}}

$const.\frac{e^{ip_0x/\hbar}}{(2\pi)^{1/2}}$ En otras palabras:

$F$ transforma los vectores propios aproximados del operador de posición $X$ a los vectores propios aproximados del operador de cantidad de movimiento $P$ .

a partir de ahora me pongo $\hbar=1$ en aras de la sencillez.

Se sabe que el espectro del operador unitario $F$ está hecho de cuatro elementos $\pm 1, \pm i$ . Los vectores propios no son más que las funciones de Hermite, pero los detalles no son relevantes aquí. Por el teorema espectral de los operadores unitarios podemos escribir

F = 1 {PAGS}_{1} - 1 {PAGS}_{- 1} + i {PAGS}_{i} - i {PAGS}_{- i}

$F = 1 P_1 -1 P_{-1} + i P_{i} -i P_{-i}$ dónde

P_{λ}

$P_\lambda$ es el proyector ortogonal sobre el espacio propio de

F

$F$ con valor propio

λ \in {\pm 1, \pm i}

$\lambda \in \{\pm 1, \pm i\}$ . Podemos reescribir la descomposición espectral anterior como

F = {mi}^{i 0} q_{0} + {mi}^{i π / 2} q_{π / 2} + {mi}^{i π} q_{π} + {mi}^{i 3 π / 2} q_{3 / 2} = {mi}^{i H}

$F = e^{i0} Q_0 +e^{i\pi/2} Q_{\pi/2} + e^{i\pi} Q_{\pi} + e^{i3\pi/2} Q_{3/2} = e^{iH}$ donde hemos introducido el operador autoadjunto

H = 0 q_{0} + (π / 2) q_{π / 2} + π q_{π} + (3 π / 2) q_{3 / 2}

$H = 0 Q_0 +(\pi/2) Q_{\pi/2} + \pi Q_{\pi} + (3\pi/2) Q_{3/2}$ con obviamente

q_{0} := {PAGS}_{1}, q_{π / 2} := {PAGS}_{i}, q_{π} := {PAGS}_{- 1}, q_{3 π / 2} := {PAGS}_{- i} .

$Q_0 := P_1\:,\quad Q_{\pi/2}:= P_{i}\:, \quad Q_{\pi}:= P_{-1}\:, \quad Q_{3\pi/2}:= P_{-i}\:.$

H

$H$ tiene espectro de punto puro hecho de los cuatro valores propios

0, π / 2, π, 3 π / 2

$0, \pi/2, \pi, 3\pi/2$ .

Consideremos finalmente el tiempo de evolución. $U_t = e^{-itH}$ . De acuerdo con las definiciones anteriores, se lee

{tu}_{t} = {mi}^{- i 0 t} q_{0} + {mi}^{- i t π / 2} q_{π / 2} + {mi}^{- i t π} q_{π} + {mi}^{- i 3 t π / 2} q_{3 / 2} .

$U_t = e^{-i0t} Q_0 +e^{-it\pi/2} Q_{\pi/2} + e^{-it\pi} Q_{\pi} + e^{-i3t\pi/2} Q_{3/2}\:.$ Como consecuencia:

{tu}_{0} = yo y {tu}_{- 1} = F .

$U_0 =I \quad \mbox{and}\quad U_{-1} = F\:.$

Esta discusión permite probar que el límite inferior solicitado para

σ_{X}^{(t) 2} σ_{PAGS}^{(t + d t) 2}

$\sigma^{(t)2}_X \sigma^{(t+\delta t)2}_P$ es cero _

Es suficiente establecer $t=0$ y $\delta t =-1$ y refiriéndose a un estado $\psi$ a $t=0$ que está suficientemente concentrado alrededor $p_0/\hbar$ , de modo que $\sigma^{(0)2}_X$ se puede hacer tan pequeño como se desee. Con esa elección $\sigma^{(-1)2}_P$ es la desviación estándar de $F\psi$ que está arbitrariamente cerca de un vector propio de $P$ para que, a su vez, también $\sigma^{(-1)2}_P$ tiende a desaparecer. El producto

σ_{X}^{(0) 2} σ_{PAGS}^{(- 1) 2}

$\sigma^{(0)2}_X \sigma^{(-1)2}_P$ se puede hacer tan pequeño como se desee eligiendo

ψ

$\psi$ concentrada arbitrariamente alrededor

p_{0} / ℏ

$p_0/\hbar$ .

ANEXO . Fui un poco descuidado en este punto, pero el hecho de que $F\psi$ se aproxima a un vector propio normalizado del impulso como $\psi$ se aproxima a un vector propio normalizado de $X$ se sigue fácilmente del teorema espectral usando el hecho de que la medida espectral de $P$ y el de $X$ están relacionados biyectivamente a través de la transformada de Fourier.

Gracias, he estado esperando esta respuesta, pero también plantea otra pregunta: supongamos un conjunto de sistemas preparados de manera idéntica, medimos un parámetro, digamos, la posición de un sistema y, algún tiempo después, medimos la variable conjugada, digamos, cantidad de movimiento de otro sistema en el conjunto. ¿Este "límite inferior" potencialmente más bajo que el del HUP nos ayudaría a refinar aún más lo que podría significar una trayectoria en QM?
No puedo entender cómo este tipo de medidas acopladas y retardadas podrían ayudar a refinar una trayectoria.

Nogueira · Answer 2

Trate de usar la imagen de Heisenberg . Se volverá más evidente lo que realmente está calculando, es decir, la relación de incertidumbre entre dos observables. $A(t_1)$ y $B(t_2)$ . Puede tomar como ejercicio el oscilador armónico y calcular la relación de incertidumbre entre $x(0)$ y $x(t)$ , será distinto de cero para $t$ diferente del período del oscilador.

insinuación:

X (t) = {mi}^{i H t} X (0) {mi}^{- i H t}

$x(t)=e^{iHt}x(0)e^{-iHt}$

marco ocram · Answer 3

La respuesta es que el tiempo no influye en el grado de incertidumbre.

El punto sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg es que cuando realiza una medición asociada con un operador, digamos A, la función de onda del sistema se convierte en una de las funciones propias de A. Si luego realiza una medición correspondiente a otro operador, digamos B, que no conmuta con A, la función de onda del sistema tiene que cambiar para convertirse en un estado propio de B, donde la 'elección' del estado propio final es incierta. La probabilidad de que la función de onda se convierta en un estado propio particular de B depende de la superposición entre ese estado propio y el estado propio de A que el sistema tenía previamente.

En el párrafo anterior, donde dije 'Si luego haces una medición', no impuse ninguna restricción en el tiempo de retraso; podías esperar todo el tiempo que quisieras. Esto se debe a que la superposición entre una función propia de B y una función propia de A no depende del tiempo. O, dicho de otro modo, los coeficientes de expansión que permiten expresar una función propia de A en términos de algún conjunto básico no dependen del tiempo.

Permítanme reformular: imagine que tiene dos sistemas idénticos preparados en el mismo estado mecánico cuántico caracterizado por la función de onda $\psi$ . ahora tu mides $\hat A$ para un sistema a la vez $t$ mientras mide el otro para $\hat B$ en el momento $t+\delta t$ . ¿Cuál es el límite inferior del producto de las dos varianzas en función de $\delta t$ ? Sabemos la respuesta para $\delta t =0$ .
Sin hacer los cálculos, diría que todavía no habría diferencia. La relación de incertidumbre es independiente del tiempo por una razón. Ninguno de los valores esperados involucrados varía con el tiempo, y ninguno de los coeficientes de expansión varía con el tiempo. Las funciones se normalizan de forma independiente del tiempo. En resumen, el tiempo no juega ningún papel en el cálculo. Los dos estados que menciona son indistinguibles, desde una perspectiva de medición, independientemente del momento en que se tomen las mediciones.

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Martín

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Respuestas (3)

Valter Moretti

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Valter Moretti

Nogueira

marco ocram

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marco ocram

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¿Se cumple la ecuación de incertidumbre de Heisenberg cuando uno de los observables tiene varianza cero?

¿Cómo conduce la no conmutatividad a la incertidumbre?

Cálculo de ⟨p⟩⟨p⟩\langle p\rangle y ⟨p2⟩⟨p2⟩\langle p^2\rangle para la función de onda [cerrado]

¿La incertidumbre es necesariamente distinta de cero para estados no propios?

Lado derecho del principio de incertidumbre: ¿cuándo es un número y cuándo un valor esperado?

¿Versión equivalente del principio de incertidumbre de la energía del tiempo de la aproximación repentina?

¿Es válido el Principio de Incertidumbre para información sobre el pasado?

¿Existe un estado para el cual Δσ2x=Δσ2y=0Δσx2=Δσy2=0\Delta\sigma_x^2=\Delta\sigma_y^2=0? Si no, ¿cómo se prueba?

¿Cuál es el significado del término anticonmutador en el principio de incertidumbre?

Generalización del principio de incertidumbre para aceleración, tirón, etc.