¿Existe un estado para el cual Δσ2x=Δσ2y=0Δσx2=Δσy2=0\Delta\sigma_x^2=\Delta\sigma_y^2=0? Si no, ¿cómo se prueba?

Sí, esto es posible, pero solo para estados con momento angular total cero.

Para ver por qué, el primer paso es ver que si$\Delta\sigma_x^2=\Delta\sigma_y^2=0$en estado$\psi$, entonces$\psi$es un estado propio de ambos$\hat\sigma_x$y$\hat\sigma_y$:

$$0=\Delta\sigma_x^2=⟨\psi|(\hat\sigma_x-\overline{\hat\sigma_x})^2|\psi⟩=\left\|(\hat\sigma_x-\overline{\hat\sigma_x})|\psi⟩\right\|^2\quad\text{implies}\quad (\hat\sigma_x-\overline{\hat\sigma_x})|\psi⟩=0.$$ Por lo tanto, tienes ecuaciones de la forma $\hat \sigma_x|\psi⟩=X|\psi⟩$y $\hat \sigma_y|\psi⟩=Y|\psi⟩$, y estos a su vez implican que $$\hat \sigma_z|\psi⟩=(\pm)i(\hat \sigma_x\hat \sigma_y-\hat \sigma_y\hat \sigma_x)|\psi⟩=\pm i (XY-YX)|\psi⟩=0$$ entonces $\psi$es también un estado propio de $\hat \sigma_z$, con valor propio cero.

Además, ahora puede aplicar el mismo argumento en las otras dos permutaciones, para obtener un valor propio cero en las otras dos direcciones:

$$\hat \sigma_x|\psi⟩=\hat \sigma_y|\psi⟩=\hat \sigma_z|\psi⟩=0.$$

Cuadrándolos y sumándolos, se obtiene

$$\hat \sigma^2|\psi⟩=\left(\hat \sigma_x^2+\hat \sigma_y^2+\hat \sigma_z^2\right)|\psi⟩=0;$$ es decir, el momento angular total es cero. En el lenguaje de los números cuánticos, este es el $l=0$, $m=0$estado.