¿Cuál es el significado del término anticonmutador en el principio de incertidumbre?

Estimado Rodrigo, es una interesante versión más fuerte del principio de incertidumbre para operadores generales$A,B$que nunca había visto antes, pero acabo de verificar que se mantiene. Para estar seguros, el anticonmutador es simplemente

Para ver por qué se mantiene la mayor desigualdad, abra Wikipedia aquí

http://en.wikipedia.org/wiki/Incertainty_principle#Mathematical_derivations

donde solo la versión más simple de la desigualdad (sin el anticonmutador al cuadrado) se prueba combinando dos desigualdades. El primero,

(Por supuesto, la ecuación derivada arriba es inútilmente débil a menos que los valores esperados de$A,B$desaparecer ellos mismos. Puede fortalecerse en el suyo repitiendo el mismo procedimiento para$\Delta A = A-\langle A\rangle$y de manera similar$\Delta B = B-\langle B\rangle$en lugar de$A,B$.)

Escribí lo que significa matemáticamente el anticonmutador y por qué la desigualdad es verdadera. Ahora bien, ¿qué significa físicamente el término anticonmutador? No sé qué significa esta pregunta. Es un término en una ecuación que puedo leer y explicarte nuevamente. Las respuestas precisas en física las dan las matemáticas. Así que supongo que la respuesta que quieres escuchar es que no significa nada físicamente, es solo matemática pura. Este hecho no significa que no pueda ser útil.

Bueno, en casos normales, la versión más fuerte no es "terriblemente" útil porque el término anticonmutador solo es distinto de cero si hay una "correlación" en las distribuciones de$A,B$- es decir, si la distribución está "inclinada" en el$A,B$plano en lugar de similar a una elipse vertical-horizontal, que suele ser el caso en paquetes de ondas simples, etc. Tal vez esto es lo que quería escuchar como la explicación física del término anticonmutador, porque$AB+BA$es sólo el doble de la parte hermiteana de$AB$, mide la correlación de$A,B$en la distribución dada por la función de onda, aunque el significado preciso de estas palabras tiene que ser determinado por la fórmula.

Estimado Rodrigo, no conozco ningún significado físico directo del término anticonmutador, pero es útil cuando se quiere precisar los estados que saturan la desigualdad en el principio de Heisenberg. Obviamente, se deben cumplir dos condiciones para que ocurra una igualdad en el principio de incertidumbre habitual: el término anticonmutador debe desaparecer y la desigualdad de Cauchy-Schwarz (ver el comentario de Luboš Motl) debe saturarse. Esto último sucede si y solo si los vectores$\Delta A|\psi\rangle$y$\Delta B|\psi\rangle$son colineales, digamos$\Delta A|\psi\rangle=\lambda\Delta B|\psi\rangle$. Esto es equivalente a$(A-\lambda B)|\psi\rangle=(\langle A\rangle-\lambda\langle B\rangle)|\psi\rangle$, eso es,$\psi$es un vector propio de$A-\lambda B$. Pero entonces el valor esperado del anticonmutador se vuelve$\langle\{\Delta A,\Delta B\}\rangle=(\lambda+\lambda^*)\langle(\Delta B)^2\rangle$, que desaparece sólo si$\lambda$es puramente imaginario a menos, por supuesto,$|\psi\rangle$es un vector propio de$B$en cuyo caso toda la desigualdad es trivial. Entonces, al final, el estado$|\psi\rangle$satura la desigualdad en la (formulación habitual del) principio de incertidumbre si y solo si es un estado propio de$A-\lambda B$por algo puramente imaginario$\lambda$. Esto sucede por ejemplo para los estados coherentes del oscilador armónico.