¿Cómo encuentro los límites de integración e integral para una integral triple?

Así que voy a reemplazar mis cosas con coordenadas esféricas con las siguientes ecuaciones:

$$x^2+y^2+z^2\:=\:\rho \:cos^2\left(\theta \right)+sin^2\left(\theta \right)sin^2\left(\phi \right)+cos^2\left(\phi \right)$$ Y cuando simplifico:

$$\rho ^2=x^2+y^2+z^2,\:\rho ^2=25,\:\rho \:=5$$

Entonces como es una pelota pienso:

$$0\le \theta \le 2\pi$$

Y luego

$$z = \frac{5}{2}$$

entonces:

$$(5)cos{\phi} = \frac{5}{2} , \phi = \frac{\pi}{3}$$

Y entonces mi integral es:

$$\int _{0\:}^{2\pi \:}\:\int _{0\:}^{\frac{\pi }{3}\:}\:\int _{\frac{1}{cos\left(\phi \right)}}^{\:5}\:\:\:\rho \:\:cos^2\left(\theta \:\right)+sin^2\left(\theta \:\right)sin^2\left(\phi \:\right)+cos^2\left(\phi \:\right)d\rho \:d\phi \:d\theta \:$$

Pero esto no se siente bien en absoluto. ¿Cuál es mi problema?