Campo vectorial discontinuo con curl 0

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Campo vectorial discontinuo con curl 0

Matemáticas
campos vectoriales
teorema de stokes
análisis vectorial
cálculo multivariable

Zaragoza

Dejar $S$ ser parte del paraboloide $z=1-x^2-y^2$ tal que $z\geq 2|y|$ . Piden calcular

\int_{C} \frac{- y}{X^{2} + y^{2}} d X + \frac{X}{X^{2} + y^{2}} d y + \frac{1 + {mi}^{z}}{1 + z^{2}} d z

$\int_C\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy+\frac{1+e^z}{1+z^2}dz$ donde la curva

C

$C$ se recorre una vez en sentido antihorario si se observa desde el punto

(0, 0, 1)

$(0,0,1)$ .

Es fácil ver que el rizo de $F$ es $(0,0,0)$ . Así que mi idea inicial fue usar el teorema de Stokes con el cual la respuesta sería cero.

Pero al darse cuenta de eso $F$ no es un campo continuo esto no es posible, ahora en realidad habría que buscar una superficie que tenga dos bordes: uno de ellos $C$ y otro $C_0$ (que sería más fácil de calcular). Se me ocurre lo siguiente, tomando la misma superficie pero acotada arriba con $z=15/16$ . Eso haría que la nueva superficie ya no pasara por el eje z.

Mi intento

Dejar $\lambda(t)=(\frac{1}{4}\cos t,\frac{1}{4}\sin t,\frac{15}{16})$ entonces $\lambda'(t)=(-\frac{1}{4}\sin t,\frac{1}{4}\cos t,0)$ . Y tenemos $F(\lambda(t))=(-4\sin t,4\cos t,\frac{1+e^{15/16}}{1+(15/16)^2})$ .

\begin{aligned} \int_{C_{0}} F \cdot d r & = \int_{C} F \cdot d r + \iint_{S} (\nabla \times F) \cdot d S = \int_{C} F \cdot d r \\ \int_{C_{0}} F \cdot d r & = \int_{0}^{2 π} {porque}^{2} t + {pecado}^{2} t d t = 2 π \end{aligned}

$\begin{align} \int_{C_0} F\cdot dr&=\int_{C} F\cdot dr+\iint_S (\nabla\times F)\cdot dS=\int_C F\cdot dr\\ \int_{C_0} F\cdot dr&=\int_0^{2\pi}\cos^2 t+\sin^2 tdt=2\pi \end{align}$

amante de las matemáticas

Mi sugerencia sería simplemente hacer la integral de línea directa

Zaragoza

@MathLover Sí, solo lo estoy haciendo, solo quiero practicar con otro método, ya que quiero aprender a usarlo bien, para estar seguro de lo que estoy haciendo.

amante de las matemáticas

En ese caso, primero debe tomar curvas más simples para aplicar lo mismo. En cualquier caso, para esta pregunta, aún podría pensar en un cilindro con el otro límite como

x^{2} + y^{2} = 1, z = - 100

$x^2 + y^2 = 1, z = -100$ Por ejemplo.

Obispo apestoso

¿No sería más fácil usar la curva

z = 0

$z=0$ en vez de

z = 9 / 10

$z=9/10$ ? El curl es cero en todas partes, no solo en

z \geq | 2 y |

$z\ge|2y|$ .

Zaragoza

@StinkingBishop Creo que es más simple, pero se cruza con la curva C. ¿No hay ningún problema?

Obispo apestoso

¿Por qué sería? Puedes convencerte de que la integral en sentido antihorario alrededor

C_{0}

$C_0$ y luego en el sentido de las agujas del reloj de vuelta

C

$C$ se puede dividir en cuatro integrales: en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la "mitad izquierda" de

C_{0}

$C_0$ , en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la "mitad izquierda" de

C

$C$ , en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la "mitad derecha" de

C

$C$ , en sentido antihorario alrededor de la "mitad derecha" de

C_{0}

$C_0$ . Ahora, los primeros dos términos te dan una integral alrededor de una curva cerrada ("mitad izquierda") que es cero, y los otros dos términos te dan una integral alrededor de otra curva cerrada ("mitad derecha") que también es cero. Por lo tanto, el total es cero.

amante de las matemáticas

@Zaragosa ¿Recibiste mi punto anterior?

Zaragoza

@MathLover Sí, solo que estaba pensando un poco en

z = - 100.

$z=-100.$ Sé que no importa el valor de

z

$z$ tarda porque seguirá desapareciendo. Edité mi pregunta con mi intención, básicamente puse ese radio para que sea más visual, pero podría tener cualquier radio siempre que se garantice que no se cruzará con la curva.

C

$C$ . Creo...

amante de las matemáticas

Sí. No es un cilindro circular con radio fijo. Así es como me gustaría que pensaras: un extremo del cilindro es curvo

C

$C$ y el otro extremo es un círculo de radio

r

$r$ a un valor de

z

$z$ , limpiar de

C

$C$ .

Zaragoza

@MathLover +1 Gracias por ese comentario, fue muy esclarecedor.

amante de las matemáticas

de nada

Respuestas (1)

Campo vectorial discontinuo con curl 0

Mi sugerencia sería simplemente hacer la integral de línea directa
@MathLover Sí, solo lo estoy haciendo, solo quiero practicar con otro método, ya que quiero aprender a usarlo bien, para estar seguro de lo que estoy haciendo.
En ese caso, primero debe tomar curvas más simples para aplicar lo mismo. En cualquier caso, para esta pregunta, aún podría pensar en un cilindro con el otro límite como $x^2 + y^2 = 1, z = -100$ Por ejemplo.
¿No sería más fácil usar la curva $z=0$ en vez de $z=9/10$ ? El curl es cero en todas partes, no solo en $z\ge|2y|$ .
@StinkingBishop Creo que es más simple, pero se cruza con la curva C. ¿No hay ningún problema?
¿Por qué sería? Puedes convencerte de que la integral en sentido antihorario alrededor $C_0$ y luego en el sentido de las agujas del reloj de vuelta $C$ se puede dividir en cuatro integrales: en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de la "mitad izquierda" de $C_0$ , en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la "mitad izquierda" de $C$ , en el sentido de las agujas del reloj alrededor de la "mitad derecha" de $C$ , en sentido antihorario alrededor de la "mitad derecha" de $C_0$ . Ahora, los primeros dos términos te dan una integral alrededor de una curva cerrada ("mitad izquierda") que es cero, y los otros dos términos te dan una integral alrededor de otra curva cerrada ("mitad derecha") que también es cero. Por lo tanto, el total es cero.
@MathLover Sí, solo que estaba pensando un poco en $z=-100.$ Sé que no importa el valor de $z$ tarda porque seguirá desapareciendo. Edité mi pregunta con mi intención, básicamente puse ese radio para que sea más visual, pero podría tener cualquier radio siempre que se garantice que no se cruzará con la curva. $C$ . Creo...
Sí. No es un cilindro circular con radio fijo. Así es como me gustaría que pensaras: un extremo del cilindro es curvo $C$ y el otro extremo es un círculo de radio $r$ a un valor de $z$ , limpiar de $C$ .
@MathLover +1 Gracias por ese comentario, fue muy esclarecedor.

usuario7530 · Answer 1

Lo que has argumentado es que si $C_0$ es una segunda curva dentro de su superficie que circula una vez en sentido antihorario alrededor del "polo norte" del paraboloide, luego $\int_C F\,dx = \int_{C_0} F\,dx$ . Puedes tomar $C_0$ ser la intersección del paraboloide con el plano $z=9/10$ si quieres, siempre y cuando estés seguro de que el avión no se cruza $C$ .

Para que esta transformación tenga sentido, necesitas la integral alrededor $C_0$ para ser más fácil de calcular que eso alrededor $C$ ; por ejemplo, puede notar que en coordenadas cilíndricas, $F = d\theta$ .

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usuario7530

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