Integral triple - Mi respuesta parece demasiado grande

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Integral triple - Mi respuesta parece demasiado grande

3d
geometría
Matemáticas
integral múltiple
integrales definidas
cálculo multivariable

Estadísticas_ug

Considerar $R=[(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 | 1 \leq x^2 + y^2 \leq 16, 0 \leq z \leq y+4]$ . Luego calcula la integral

I = \int_{R} (X - y) d V

$I=\int_R(x-y)dV$

Pensé en la región y encontré que como $€ \leq x^2 + y^2 \leq 16,$ tenemos $x \in [1,4], y \in [1,4]$ . Entonces podemos tener $z \in [0,8]$

Luego cambié la integral a $\int_1^4 \int_1^{16-x^2}\int_0^{y+4}(x-y)dzdydx$ , que descubrí que era $\frac{93461}{70} \approx 1335.16$

Sin embargo, si tuviera que agrandar la región, digamos tomando el círculo $x^2+y^2=16 \ (a=4)$ y convertirlo en un esferoide con $z=8 \ (c=4)$ , entonces obtendría volumen $\frac{4}{3} \pi 4^24=\frac{256}{3}\pi \approx 268.08$

Por lo tanto, sé que mi respuesta es demasiado grande, por lo que probablemente encontré los límites de integración incorrectos.

Kavi Rama Murthy

El límite para

y

$y$ estan equivocados. Además, no estás calculando ningún volumen. la integral de

x - y

$x-y$ sobre una región más grande puede ser más pequeña.

Respuestas (2)

Integral triple - Mi respuesta parece demasiado grande

El límite para $y$ estan equivocados. Además, no estás calculando ningún volumen. la integral de $x-y$ sobre una región más grande puede ser más pequeña.

amante de las matemáticas · Answer 1

Debe dividir su integral si la está configurando en coordenadas cartesianas. Dado que la región está entre dos cilindros de radio $1$ y $4$ unido por dos planos $z= 0$ y $z = y + 4$ , recomendaría coordenadas cilíndricas.

En coordenadas cilíndricas, $x = r \cos \theta, y = r\sin\theta, z= z$ .

Entonces tenemos,

$0 \leq z \leq 4 + r \sin\theta$
$1 \leq r \leq 4$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$

Entonces la integral se convierte en,

$\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_1^4 \int_0^{4 + r\sin\theta} r^2 (\cos\theta - \sin\theta) ~ dz ~ dr ~ d\theta$

Pero debes tener en cuenta que $x$ siendo una función impar y la simetría de la región respecto al plano YZ, su integral sobre la región sería cero. Así que deberías evaluar la integral de $- y$ .

Si lo está configurando en coordenadas cartesianas, vea la proyección de la región en el plano xy.

los límites de $z$ es sencillo como lo mencionas tú. Pero límites de $x$ y $y$ son diferentes para $|x| \leq 1$ y para $1 \leq |x| \leq 4$ . Una forma más directa sería evaluar ambos cilindros por separado y luego restar. Una vez más, puede evitar la integración $x$ como se ha mencionado más arriba.

$\displaystyle I_1 = \int_{-1}^1 \int_{ - \sqrt{1-x^2}}^{ - \sqrt{1-x^2}} \int_0^{y+4} (x-y) ~ dz ~ dy ~ dx$

$\displaystyle I_2 = \int_{-4}^4 \int_{ - \sqrt{16-x^2}}^{ \sqrt{16-x^2}} \int_0^{y+4} (x-y) ~ dz ~ dy ~ dx$

y finalmente, $I = I_2 - I_1$

Gracias, esto aclara mucho el problema. Recién comenzamos a cubrir el cambio de la integral a coordenadas polares, así que pensé en usarlo. Es interesante ver que se puede hacer usando cartesiano, pero es mucho más complicado.
@Stats_ug de nada. Además, ¿está claro por qué integral de $x$ ¿se puede evitar?

jose carlos santos · Answer 2

Usa coordenadas cilíndricas. Tu integral se convierte en

\int_{0}^{2 π} \int_{1}^{4} \int_{0}^{r pecado (θ) + 4} r^{2} (porque (θ) - pecado (θ)) d z d r d θ,

$\int_0^{2\pi}\int_1^4\int_0^{r\sin(\theta)+4}r^2\bigl(\cos(\theta)-\sin(\theta)\bigr)\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta,$ que es igual a:

\begin{matrix} \int_{0}^{2 π} \int_{1}^{4} r^{2} (porque (θ) - pecado (θ)) (r pecado (θ) + 4) d r d θ = \\ = \int_{0}^{2 π} (- \frac{255}{4} {pecado}^{2} (θ) - 84 pecado (θ) + 84 porque (θ) + \frac{255}{4} pecado (θ) porque (θ)) d θ = - \frac{255}{4} π . \end{matrix}

$\begin{multline}\int_0^{2\pi}\int_1^4r^2 (\cos (\theta )-\sin (\theta )) (r \sin (\theta )+4)\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\\=\int_0^{2\pi}\left(-\frac{255}{4} \sin ^2(\theta )-84 \sin (\theta )+84 \cos (\theta )+\frac{255}{4} \sin (\theta ) \cos (\theta )\right)\,\mathrm d\theta=-\frac{255}4\pi.\end{multline}$

Gracias, los límites de r no serían 1 y 4, ya que en el plano xy estamos trabajando con un disco con radio 4 y radio 1 'recortado'. Por lo tanto haciendo la integral $\approx -200.277$

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Kavi Rama Murthy

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