¿"Regla de 72" para múltiplos más altos?

La regla del 72 establece que si gano n% de interés, puedo dividir 72 entre n y obtener el número aproximado de años en los que duplicaré mi dinero.

Supongamos que quisiera saber en cuántos años cuadruplicar mi dinero. Por ejemplo, ¿qué porcentaje de rendimiento necesitaría generar cada año para cuadriplicar mi dinero en veinte años?

Consulte esta respuesta para ver comparaciones de cómo funciona la regla del 72 con respecto a la duplicación.

Respuestas (2)

Para 3X, es alrededor de 114, y para 4X, 144, que naturalmente es el doble de 72.

Estos son resultados cercanos, al dorso de la servilleta. Con las aplicaciones para teléfonos inteligentes que ofrecen calculadoras científicas, debe sentirse cómodo simplemente sacando la raíz enésima de un número para obtener una respuesta más precisa.

Actualización en respuesta al comentario de Brick.

La regla del 72 dice que (n)(y)=72 para duplicar tu dinero. Responde a ambas preguntas, ¿cuánto tiempo necesito, dada una tasa, y cuánto retorno necesito, dado un tiempo?

La lógica me dice que si 72 es el número a duplicar, 144 es el 4X. Pero soy un tipo de matemáticas, y mi lógica puede no ser lógica para OP. Entonces -

Saquemos la raíz vigésima de 4.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Esta es la clave para usar. 4, (pulsar tecla) 20, igual. El resultado es 1.07177 o 7.177%. Y esta es la tasa precisa que necesitarías para cuadruplicar tu dinero en 20 años) Ahora (n)(y)= 20* 7.177 = 143.55 que se redondea a 144. "Regla de 144" para cuadruplicar tu dinero.

Esto ahora responde la pregunta de OP, "Cómo derivar una regla de X" para un retorno que no sea la duplicación.

¿Un ejemplo más? Quiero 10 veces mi dinero. Por supuesto, necesito la conjetura inicial para ingresar un cálculo. A la gente le gusta el 8%, en general. Está un poco por debajo del 10% de rendimiento a largo plazo del S&P y es un buen número redondo. La Regla del 72 dice 9 años para duplicar, entonces, 18 años es 4X y 36 años es 8X. Para mi cálculo inicial, usaré 40 años. La raíz 40 de 10. Obtengo 5.925% (Nuevamente, la tasa precisa que da 10 veces en 40 años) y al multiplicar esto por 40, obtengo una "Regla de 237" que estoy tentado a redondear a 240.

Al 6%, 237/6= 39,5 años, 1,06^39,5 = 9,99 Al 6%, 240/6= 40,0 años, 1,06^40,0 = 10,29

Puede ver que pierde algo de precisión en aras de un número que es más fácil de recordar y manipular. 72 al doble es bastante preciso, por lo que seguiré con la "Regla de 237" para obtener 10 veces mi dinero.

Para cerrar, el propósito de estas reglas es crear la herramienta que le permita realizar algunos cálculos difíciles lejos de cualquier dispositivo electrónico. Por supuesto, sé cómo usar los registros y, en la vida real, me pagan para explicarlos a los estudiantes, quienes generalmente se alegran cuando termina ese capítulo. Mostré arriba cómo la "Regla de X" se puede formular con una clave de encendido/raíz, que, para la mayoría de las personas, es más simple. Irónicamente, los cálculos de registro como los ofrecidos por @jkuz fuerzan una composición continua que puede no ser deseable en absoluto. Daría un resultado de 230 para mi ejemplo de retorno 10X, y lo siguiente (usando la primera ecuación que ofreció):

Al 6%, 230/6= 38,3 años, 1,06^38,3 = 9,31

que está más lejos del 10X deseado que mi 237 o 240 redondeado.

¿Qué quieres decir con raíz enésima? ¿No sería log(MULTIPLE)/log(1+RATE) = xencontrar cuántos años (X) necesitaría TASA de retorno para aumentar su retorno por un factor de MÚLTIPLE? Tal vez me estoy perdiendo algo de lógica.
La raíz décima de 2, es decir, 2 ^ (1/10), te indicará la tasa a duplicar en 10 años. Esta matemática es un nivel más bajo que los registros.
Siempre tengo que volver a derivar eso...
tengo una excusa Trabajo en una escuela secundaria. Y los exponentes/raíces parecen mucho más fáciles de entender que el capítulo que presenta los logaritmos.
El OP hizo dos preguntas. El primero pregunta por el número de años (presumiblemente dada una tasa ). El segundo pregunta por la tasa dado un número de años . Para el primero, tendrá que tomar el registro, como en el comentario de @Lan. Para lo último, ha dado la respuesta, pero su comentario acerca de que el registro es más difícil es realmente engañoso, ya que es la herramienta correcta o incorrecta según cuál de estos desee calcular.
@Brick: vea mi respuesta revisada.
Ya había actualizado mi publicación según los comentarios de @Joe que tiene en cuenta una mejor aproximación para el logaritmo natural al sesgar Xpor una tasa de interés común. Usar una tasa de R=8%te da 239.47, lo que en realidad confirma tu elección de redondear a 240. Sin embargo, +1 por la explicación. Con todas las aproximaciones y atajos, las intenciones del usuario y la facilidad de uso son todos factores.
Además, ¿usar la regla del 72 no supondría que uno estaba usando capitalización continua o no le importaba (ya que estamos usando una aproximación)? Sólo curioso. :)
Esta respuesta es realmente complicada y tergiversa la respuesta (correcta) de @jkuz.
@Brick Eh, creo que depende de su caso de uso. Con esta respuesta, puede regresar a cualquier solución con solo una calculadora simple. Con mi respuesta, puede llegar más rápido a una solución de "Regla de X" (en mi humilde opinión), pero requiere hacer un cálculo bastante complejo. "Correcto" está quizás en el ojo del espectador.
@jkuz Ambas respuestas requieren el uso de una calculadora científica. Presionar la tecla "registro" dos veces no me parece mucho más complejo que presionar la tecla "encendido" una vez. Su derivación es quizás más difícil, pero les ha hecho a todos el servicio de escribirlo para obtener una solución de forma cerrada. Además, esta respuesta aún tergiversa su respuesta, que (aunque podría decirse que es más complicada) es definitivamente correcta.
ln(10) es 2.3, por ecuación en la respuesta de j es 230. Estoy bien para dejarlo aquí. Entiendo ambos métodos. @jkuz: sí, veo que la segunda ecuación que ofrece en su respuesta da un resultado de ~ 240.

La respuesta simple para la llamada 'Regla de X' se encontraría por:

X = ln(multiple of growth) * 100

En tu caso:

X = ln(4) * 100 ≈ 139

Actualizar:

Si desea una aproximación más cercana al valor nominal de la "Regla de 72", use esta ecuación que incorpora una mejor aproximación para el logaritmo natural. La "Regla del 72" se ajusta a esto para una tasa de interés de 7.79% para un múltiplo de crecimiento de 2:

X = ln(multiple of growth) * ( 1 + ( R / 200)) * 100

La regla del 72 se obtiene aproximando los logaritmos naturales como tales:

 time =  ln(2) / ln(1+r)  ≈  0.6931/r

El 2es el múltiplo del crecimiento. La tasa raquí no está en porcentaje, así que para cambiar a porcentaje (por ejemplo, R) tienes que multiplicar por 100:

 time ≈ (0.6931 * 100) / R ≈ 69.3 / R

El número 72 se usa a menudo porque es más fácil de dividir en partes iguales que 69.3 y es una mejor aproximación para el logaritmo natural y las tasas de interés comunes.

Si necesitas más, puedes encontrar todo esto en Wikipedia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_72#Derivation

Esto tiene cierto grado de precisión técnica, pero expresa erróneamente por qué se usa 72. (Si fuera simplemente porque es más fácil de recordar que 69.3, ¿por qué no usar 69? o 70?) La página de wikipedia explica esto bastante bien.
@Joe punto tomado! Ciertamente parece correcto que sea más fácil de dividir que 69.3, pero eliminaré el otro. Gracias. ¡Es por eso que hice referencia al enlace!
En lugar de eliminarlo, tal vez explique por qué en realidad es 72. (El 69.3 es correcto cuando r está cerca de 0, pero ln(1+r) ~= r solo es cierto para r pequeño; es 72 porque esa es la respuesta correcta para r=0.08 que está en el estadio de béisbol de las tasas de interés comunes).
@Joe actualizado para completar. Ciertamente estoy de acuerdo contigo, pero según la pregunta original del OP, me sacrifiqué por la simplicidad. Gracias
Para la composición no continua, 72 es más preciso. Para duplicar en 10 años, se requiere 7,18% de interés, la regla del 72 dice 7,2% (muy cerca) pero tu 69,3 da, bueno, 6,93% (menos cerca).
@JoeTaxpayer Gracias, por eso actualicé la publicación. Por supuesto, con cualquier aproximación, 'mejor' o 'mejor' depende en gran medida de la aplicación y las expectativas del usuario.
@JoeTaxpayer ¡La diferencia entre el 72 y el 69 tiene que ver con la calidad de la aproximación al registro, no con la composición continua! Obtienes 69.3 al llevar la expansión de Taylor alrededor de r=0 a un término. Obtiene 72 tomando un segundo término para tasas de interés que están más cerca del 8% (es decir, menos cerca de 0).
@Brick Estoy seguro de mi observación. Es por eso que el 100 % durante un año devolverá el 172 % (171,828 % para ser un poco más precisos) con capitalización continua. El primer cálculo debe ser preciso si estamos usando ecuaciones, ¿no?
@JoeTaxpayer Consulte la derivación en el enlace de wikipedia para la derivación. Es explícito en cómo obtienes la regla "69.3" y cómo obtienes la regla "72" bajo diferentes aproximaciones al registro y las otras suposiciones que se incluyen en él. Muestra tanto la composición periódica como la continua (con más detalles sobre la periódica).
@Ladrillo. Hice. Yo lo entiendo. La página wiki confirma para el rango de 5-10% que 72 es una mejor aproximación. Y a medida que la tasa se acerca a cero, es la misma matemática que la capitalización continua, donde 69,3 es más preciso. Y wiki confirma "Para la capitalización continua , 69 da resultados precisos para cualquier tasa". Los lectores pueden decidir qué camino prefieren seguir. Con la ubicuidad de los teléfonos inteligentes y sus aplicaciones, la servilleta se ha vuelto obsoleta. Estoy bien para dejar esto, ahora.
¿"Regla de 72" para múltiplos más altos?
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