U(1)U(1)U(1) Defectos topológicos de Kaluza-Klein de 5 dimensiones

Question

U(1)U(1)U(1) Defectos topológicos de Kaluza-Klein de 5 dimensiones

Física
topología
kaluza-klein
compactación
electromagnetismo
relatividad general

difeomorfismo

La teoría de Kaluza-Klein de cinco dimensiones es bien conocida por predecir que el campo electromagnético se puede describir como una dimensión adicional curvada sobre un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Es decir, solo necesita la relatividad general y una dimensión circular curvada adicional para obtener un campo vectorial sin masa que se ajuste a la descripción del electromagnetismo.

Por ejemplo, si podemos describir el espacio-tiempo KK local como una fibra $U(1) \times M^4$ , y si imaginamos pictóricamente el $M^4$ como una longitud de manguera, entonces el $U(1)$ la fibra es como el grosor de la manguera

Algo que tengo curiosidad es, bajo esta teoría, cuál sería el comportamiento esperado de defectos simples en la topología.

Un defecto en particular que quiero considerar es la imagen pictórica de la manguera, pero uniendo una nueva pierna de la manguera a una manguera existente, produciendo básicamente una manguera con 3 piernas (o un pantalón de 3 piernas, si lo prefiere). En este caso, la fibra encima de $M^4$ sería $U(1)$ sólo en la región alejada del defecto. Otra forma de representar esto es imaginar una T, y nuestro $M^4$ universo es el brazo superior del T.

¿Cómo se vería tal defecto en nuestro lado del universo? ¿Cómo se vería el campo electromagnético cerca de tal defecto que altera significativamente el simple $U(1)$ ¿topología?

jamals

Solo siendo exigente: para asegurarse de que solo tiene electromagnetismo y gravitación, el dilatón también debe establecerse en una constante.

una mente curiosa

¿Puedes escribir esto como

X \times M^{4}

$X\times M^4$ , dónde

X

$X$ ¿Es algo unidimensional? No estoy muy seguro de por qué está llamando a esta manguera con tres patas (generalmente conocida como un par de pantalones o la esfera de tres agujeros en el caso 2D, por cierto) un "defecto de la $\mathrm{U}(1)$ topología" , de lo contrario. ¿Podría dar más detalles?

difeomorfismo

@CuriousMind Ok, quise decir que el

X

$X$ múltiple es

U (1)

$U(1)$ lejos del defecto para que recuperes el electromagnetismo en la región asintótica. Estuvo de acuerdo en que el pantalón de 3 patas es una mejor descripción pictórica que es consistente con otros libros de texto sobre cobordismo y demás.

difeomorfismo

@JamalS, cierto ... Aunque si mal no recuerdo, ¿el dilatón se comporta como un campo escalar neutral? o se acopla al campo electromagnético?

jamals

@diffeomorphism Se acopla al campo electromagnético. Puede ver esto realizando el cálculo con el ansatz usted mismo. También hice el cálculo aquí: physics.stackexchange.com/q/64735

Respuestas (1)

U(1)U(1)U(1) Defectos topológicos de Kaluza-Klein de 5 dimensiones

Solo siendo exigente: para asegurarse de que solo tiene electromagnetismo y gravitación, el dilatón también debe establecerse en una constante.
¿Puedes escribir esto como $X\times M^4$ , dónde $X$ ¿Es algo unidimensional? No estoy muy seguro de por qué está llamando a esta manguera con tres patas (generalmente conocida como un par de pantalones o la esfera de tres agujeros en el caso 2D, por cierto) un "defecto de la $\mathrm{U}(1)$ topología" , de lo contrario. ¿Podría dar más detalles?
@CuriousMind Ok, quise decir que el $X$ múltiple es $U(1)$ lejos del defecto para que recuperes el electromagnetismo en la región asintótica. Estuvo de acuerdo en que el pantalón de 3 patas es una mejor descripción pictórica que es consistente con otros libros de texto sobre cobordismo y demás.
@JamalS, cierto ... Aunque si mal no recuerdo, ¿el dilatón se comporta como un campo escalar neutral? o se acopla al campo electromagnético?
@diffeomorphism Se acopla al campo electromagnético. Puede ver esto realizando el cálculo con el ansatz usted mismo. También hice el cálculo aquí: physics.stackexchange.com/q/64735

Ali Moh · Answer 1

Ali Moh

Según tengo entendido, su pregunta implica que la "manguera" está en alguna región en $M^4$ , esta imagen está permitida si consideras que tu $X\times M^4$ incrustado en un espacio de 6 dimensiones, sin embargo, no tiene sentido decir que la topología de un bucle (1 dimensión compacta) puede convertirse de un bucle en dos...

Puede haber cambios locales en el radio de este bucle, esto se debe a una dilatación no constante (fluctuaciones del mismo llamadas "radión"). Si este bucle ya no es circular, entonces pierdes tu $U(1)$ isometría, y con ella su campo de norma sin masa.

Sin embargo, consideremos esta posibilidad, que hay alguna incrustación en el espacio de 6 dimensiones y la "manguera" se está dividiendo. Esto significaría físicamente que el universo de 4 dimensiones se está dividiendo en dos en las regiones del espacio-tiempo (antes de la división) donde ocurre esta división. Cerca de esta división, la dimensión extra compacta ya no puede ser circular, por lo que supongo que la $U(1)$ El campo de calibre adquiere una masa, poco después de perderla una vez bien entrado en el nuevo universo y se restablece la circularidad.

Nota: la discusión con ACuriousMind ayudó a refinar la respuesta, vea los comentarios.

una mente curiosa

La unión separada de dos círculos sigue siendo una variedad unidimensional: simplemente está desconectada, por lo que "no tiene sentido decir que la topología de un bucle (1 dimensión compacta) puede convertirse de un bucle en dos" es una exageración - sí, la topología es diferente, pero la unión disjunta de dos círculos sigue siendo compacta y unidimensional. ¿O hay algo que obliga al espacio 5D a ser globalmente

X \times M^{4}

$X\times M^4$ con el mismo

X

$X$ ?

Ali Moh

Cierto, la mía no era una declaración matemática rigurosa. Pero lo que quise decir es que si tuviera dos bucles disjuntos y le pidiera que me diera sus coordenadas de 5 dimensiones, ¿cómo lo haría? tiene que especificar dos números, uno para cada ciclo, entonces en realidad es

X \times X \times M^{4}

$X\times X\times M^4$ . O tendrás que decir que tienes dos copias de

M^{4}

$M^4$ universo, donde en cada copia puedo especificar una de las dos coordenadas extra, por lo que para especificarlas simultáneamente tendré que estar hablando de dos puntos en dos universos paralelos por así decirlo

una mente curiosa

No, dos círculos disjuntos siguen siendo una variedad unidimensional descrita exactamente por una coordenada. Toma la coordenada

θ \in [0, 4 π)

$\theta\in [0,4\pi)$ y decir que los valores en

[0, 2 π)

$[0,2\pi)$ describir un círculo (como la coordenada angular obvia

θ

$\theta$ ) y los valores en

[2 π, 4 π)

$[2\pi,4\pi)$ describir el otro círculo (como el ángulo

θ - 2 π

$\theta-2\pi$ , naturalmente). Esta es una coordenada perfectamente buena. La unión disjunta dos, a diferencia de los productos, no aumenta la dimensión. (Tenga en cuenta que

S^{1} \times S^{1}

$S^1\times S^1$ no es la union de dos circulos

S^{1} \cup S^{1}

$S^1 \cup S^1$ , pero el toro

T^{2}

$T^2$ , que es verdaderamente bidimensional)

Ali Moh

Pues entonces en este caso se realiza el caso dos. Entonces, ¿cuál es la diferencia física entre un punto

(t_{1}, {\vec{x}}_{1}, θ_{1})

$(t_1,\vec{x}_1,\theta_1)$ y

(t_{1}, {\vec{x}}_{1}, θ_{1} + 2 π)

$(t_1,\vec{x}_1,\theta_1 + 2\pi)$ ? Si no hay diferencia, entonces esta imagen es redundante. Si son (como deben ser) dos puntos diferentes, entonces tenemos dos universos paralelos

Ali Moh

Para ser más transparente físicamente. Si todas las amplitudes de dispersión son invariantes bajo

θ \to θ + 2 π

$\theta\rightarrow\theta+2\pi$ entonces estos dos universos son redundantes. Si algunos de ellos no lo son, entonces, ¿cómo sabe, dadas sus coordenadas 4-d, qué amplitud se realiza? debes saber si estas en el universo

θ \in [0, 2 π]

$\theta\in[0,2\pi]$ o en

θ \in [2 π, 4 π]

$\theta\in[2\pi,4\pi]$ ... Por supuesto, esto supone un radio igual... si los radios no son iguales, entonces claramente cada universo está especificado por su dilatación VEV

una mente curiosa

Creo que deberías agregar eso (la "transparencia física") a tu respuesta. Esperaba que tuvieras un argumento de por qué no podemos obtener una estructura de este tipo de 5D Kaluza-Klein, pero incluso sin esto, es una respuesta.

difeomorfismo

"no tiene sentido decir que la topología de un bucle (1 dimensión compacta) puede convertirse de un bucle en dos". La manguera (o pierna del pantalón) se convierte en una manguera en forma de T (o un pantalón en forma de T). Se supone que el segmento superior _ es nuestro

M^{4}

$M^4$ , y el | de la T se supone que es una variedad de cuatro dimensiones que se conecta con alguna región compacta de la

M^{4}

$M^4$ . Solo estoy tratando de obtener algunas predicciones aproximadas de cómo el electromagnetismo se distorsionaría cerca de tal defecto.

Ali Moh

Una cosa es segura: una transición suave a lo largo de esta unión definitivamente destruiría la isometría circular que dio lugar a un bosón de norma sin masa... ¿quizás tendría una masa efectiva dependiente de la posición?

Ali Moh

Es decir habrá interacciones apreciables entre fotones y radiones

difeomorfismo

Si hubiera objetos como estos en el universo, ¿cómo los detecto?

difeomorfismo

como en, electromagnéticamente ... ¿cómo se comportaría el campo electromagnético cerca del defecto?

Ali Moh

los fotones serían masivos => de corto alcance, y v<c.. También se acoplarían a los gravitones de una manera poco convencional... En otras palabras, ya no se parecerían a los fotones de ninguna manera.

U(1)U(1)U(1) Defectos topológicos de Kaluza-Klein de 5 dimensiones

difeomorfismo

jamals

una mente curiosa

difeomorfismo

difeomorfismo

jamals

Respuestas (1)

Ali Moh

una mente curiosa

Ali Moh

una mente curiosa

Ali Moh

Ali Moh

una mente curiosa

difeomorfismo

Ali Moh

Ali Moh

difeomorfismo

difeomorfismo

Ali Moh

¿Qué genera la curvatura que es necesaria para enrollar dimensiones extra?

Reducción dimensional de la acción de Einstein-Hilbert de dimensiones superiores

Multipletes de Betti en compactaciones de Kaluza Klein

¿Medición del gradiente de campo de radión de kaluza-klein?

El efecto Aharonov-Bohm es puramente clásico, ¿verdad?

forma del universo?

¿Cómo planeó Einstein unificar el electromagnetismo y la gravedad?

Potencial de Ernst de la reducción de Kaluza-Klein del espacio-tiempo axisimétrico

Interpretación geométrica del Electromagnetismo

El momento angular, ¿qué es, se conserva y cómo lo sabemos?