¿Cuál es la diferencia entre una simetría y un cambio de coordenadas?

Una simetría dinámica es un mapa (regular en el sentido apropiado) del espacio de estados en sí mismo

$$s : \Gamma \to \Gamma\:,$$ generalmente se asume que es inyectiva y sobreyectiva, tal que si $$\gamma : \mathbb R \ni t \mapsto \gamma(t) \in \Gamma$$ es una solución de las ecuaciones dinámicas, $$\gamma': \mathbb R \ni t \mapsto \gamma'(t) := s(\gamma(t)) \in \Gamma$$ sigue siendo una solución de estas ecuaciones.

Aquí no hay nada relacionado con las coordenadas. $\Gamma$puede ser un espacio de Hilbert, por ejemplo, si estamos discutiendo simetrías dinámicas cuánticas.

En el caso de los sistemas lagrangianos,$\Gamma$es el espacio de estados cinéticos . Si un mapa como$s$arriba conserva el Lagrangiano ,

$$L = L\circ s\:,$$ entonces es una simetría dinámica en el sentido que describí arriba (¡no es evidente y puede probarse!).

Lo contrario es falso. Con respecto a la formulación hamiltoniana reemplazando$L$para la función hamiltoniana$H$, dónde$\Gamma$es el espacio de fases , en cambio hay una equivalencia perfecta, si te limitas a tratar con transformaciones canónicas que no dependen del tiempo y la función hamiltoniana tampoco depende del tiempo (hay una equivalencia más general pero es un poco técnica para explicar aquí).

Si$\Gamma$es una variedad, las transformaciones de coordenadas no actúan como transformaciones activas en$\Gamma$(¡son el mapa de identidad !) por lo tanto , no son simetrías dinámicas por definición.

Sin embargo, a veces puede interpretarlos como transformaciones activas (ya que$s$es biyectiva, regular y, por lo tanto, transforma los sistemas de coordenadas en sistemas de coordenadas) refiriéndose a clases adecuadas de coordenadas, ¡las que están conectadas por simetrías! Con respecto a tal par de sistemas de coordenadas, la simetría estudiada en coordenadas se parece al mapa de identidad.

Sin embargo, este enfoque centrado en las coordenadas no es el punto de partida correcto para comprender estas nociones, al menos para los principiantes, en mi opinión.