¿Puede una función de onda física ser no uniforme o incluso discontinua?

Question

¿Puede una función de onda física ser no uniforme o incluso discontinua?

matriz23

Aquí hay un argumento que podría respaldar la afirmación de que una función de onda no suave no es física:

No puede agregar un número finito de funciones suaves para obtener una función no suave. Por el teorema de expansión de Fourier, cualquier función puede expresarse como una suma de ondas planas (que son suaves con respecto a las dimensiones espaciales). Por lo tanto, debe necesitar un número infinito de funciones suaves para obtener una función no suave. Ahora aquí está el problema. Las diferentes ondas planas son funciones propias de momento y la función no suave es una superposición de estas funciones propias de momento. Si ahora intenta calcular el valor esperado de la cantidad de movimiento, debido al hecho de que los valores propios de la cantidad de movimiento asociados con las funciones propias de la cantidad de movimiento no están acotados desde arriba, el valor esperado de la cantidad de movimiento podría explotar (llegar al infinito). Esto es específicamente lo que haría que la función de onda no fuera física.

ψ (X) = \int \tilde{ψ} (k) {mi}^{i k X} d k

$\psi(x) = \int \widetilde{\psi}(k) e^{ikx} \mathrm{dk}$

mi (k) = \int | \tilde{ψ} (k) |^{2} k d k

$E(k) = \int |\widetilde{\psi}(k)|^2 k \ \mathrm{dk}$

Pero para una función suave general, ¿cómo sé si los coeficientes de Fourier asociados con modos propios de cantidad de movimiento cada vez mayores disminuyen lo suficientemente rápido como para que converja el valor esperado de la cantidad de movimiento?

knzhou

¿ Pregunta relacionada aquí ?

qmecanico

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¿Puede una función de onda física ser no uniforme o incluso discontinua?

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yuggib · Answer 1

No existe un requisito físico para que una función de onda sea suave o incluso continua. Al menos si aceptamos la interpretación común de que una función de onda no es más que una "amplitud de probabilidad". Es decir, representa, cuando se multiplica con su complejo conjugado, una densidad de probabilidad. Ahora una densidad de probabilidad puede ser discontinua o incluso indefinida en conjuntos de Lebesgue medida cero. De hecho, la función de onda continua y suave

C (X) = {mi}^{- X^{2}}

$c(x)=e^{-x^2}$ y la función de onda discontinua

d (X) = {\begin{aligned} {mi}^{- X^{2}} & X \neq 0 \\ 5 & X = 0 \end{aligned}

$\begin{equation}d(x)=\left\{\begin{aligned}&e^{-x^2}&x\neq 0\\&5&x=0 \end{aligned}\right.\end{equation}$ dan la misma distribución de probabilidad . En otras palabras, a los efectos de la mecánica cuántica son perfectamente indistinguibles y, de hecho, pertenecen a la misma clase de equivalencia de

L^{2} (R^{d})

$L^2(\mathbb{R}^d)$ funciones En otras palabras, el vector espacial de Hilbert

ψ

$\psi$ en

L^{2} (R^{d})

$L^2(\mathbb{R}^d)$ definido por

c (x)

$c(x)$ y

d (x)

$d(x)$ es el mismo , y por lo tanto corresponde al mismo estado cuántico.

Por la razón anterior, en mi opinión, la continuidad no tiene sentido cuando tratamos con funciones de onda. Por supuesto, siempre es posible (y conveniente) incorporar, digamos, funciones de disminución rápida $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ en $L^2(\mathbb{R}^d)$ , es decir, considerando, por un abuso de notación, $f\in \mathscr{S}(\mathbb{R}^d)\subset L^2(\mathbb{R}^d)$ ; sin embargo, estamos considerando implícitamente la clase de equivalencia de casi todas las funciones iguales $[f]\in L^2(\mathbb{R}^d)$ a la que $f$ pertenece, en lugar de $f$ sí mismo. Entonces, supongamos ahora que modificamos la afirmación de OP para que sea:

No es físico considerar funciones de onda que no pertenecen a $\mathscr{C}^1_{L^2}(\mathbb{R}^d)=\Bigl\{[f]\in L^2(\mathbb{R}^d), f\in C^1(\mathbb{R}^d)\text{ with }\int_{\mathbb{R}^d}\lvert f(x)\rvert^2 dx<\infty \Bigr\}$ .

Ahora bien, esta es una afirmación mejor definida desde un punto de vista matemático, y significa que consideramos funciones de onda físicamente significativas solo de modo que exista un representante continuo y diferenciable en su clase de equivalencia. Sin embargo, también este requisito no es físico . De hecho, hay posibilidades $V(x)$ tal que el hamiltoniano $H=-\Delta/2m +V(x)$ es autoadjunto, y

{mi}^{- i H t} [C_{L^{2}}^{1} (R^{d})] ⊈ C_{L^{2}}^{1} (R^{d}) .

$e^{-iHt}\Bigl[\mathscr{C}^1_{L^2}(\mathbb{R}^d)\Bigr]\nsubseteq \mathscr{C}^1_{L^2}(\mathbb{R}^d)\; .$ En otras palabras, hay evoluciones cuánticas para las cuales algunas funciones de onda "suaves" (en el sentido justo arriba) se vuelven no suaves a medida que pasa el tiempo. Un ejemplo concreto relevante sería el potencial de Coulomb

V (x) = \pm \frac{1}{| x |}

$V(x)=\pm \frac{1}{\lvert x\rvert}$ .

udv · Answer 2

De la respuesta de yuggib: "... consideramos físicamente significativas solo las funciones de onda tales que existe un representante continuo y diferenciable en su clase de equivalencia. Sin embargo, este requisito tampoco es físico".

No exactamente. Un conjunto de discontinuidades puntuales contables puede ser tolerable, al menos a primera vista, pero en realidad hay una muy buena razón física por la que generalmente se requiere que las funciones de onda sean continuas y diferenciables, incluso bajo supuestos típicos sobre el comportamiento asintótico: la energía promedio, en particular la energía cinética, puede volverse infinita o indefinida. Un contraejemplo muy simple muestra por qué.

Considere una función de onda 1D (no relativista) completamente confinada al semieje positivo, con un frente de onda agudo en el origen, por ejemplo

Ψ (X) = θ (X) ψ (X), ψ (0) \neq 0

$\Psi(x) = \theta(x) \psi(x), \;\;\; \psi(0) \neq 0$ dónde

θ (X) = {\begin{matrix} 1, para X \geq 0 \\ 0, para X < 0 \end{matrix}

$\theta(x) = \left\{\begin{array}{c}1, \; \text{for}\;x\ge 0 \\0,\;\text{for}\;x<0\end{array}\right.$ es la función escalón de Heaviside y

ψ

$\psi$ es integrable al cuadrado, con comportamiento estándar para

x \to \infty

$x\rightarrow \infty$ (ver la pregunta relacionada señalada por knzhou). La discontinuidad no plantea ningún problema para la normalización, ya que siempre podemos exigir

\int_{- \infty}^{\infty} d X Ψ^{*} Ψ \equiv \int_{- \infty}^{\infty} d X θ (X) ψ^{*} ψ = 1,

$\int_{-\infty}^\infty{dx\; \Psi^*\Psi} \equiv \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x) \psi^*\psi} = 1,$ tampoco interfiere mucho con la posición o el momento promedio, que generalmente resultan ser finitos mientras

ψ

$\psi$ se comporta razonablemente en el infinito:

⟨ Ψ | \hat{X} | Ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d X θ (X) X | ψ |^{2} < \infty

$\langle \Psi | {\hat x}|\Psi\rangle = \int_{-\infty}^\infty{dx\;\theta(x) x|\psi|^2} < \infty$ y

⟨ Ψ | \hat{pag} | Ψ ⟩ = - i ℏ \int_{- \infty}^{\infty} d X θ (X) ψ^{*} \frac{d}{d X} (θ (X) ψ) = - i ℏ \int_{- \infty}^{\infty} d X (θ (X) ψ^{*} \frac{d ψ}{d X} + \frac{1}{2} ψ^{*} ψ \frac{d θ}{d X}) = = - \frac{i ℏ}{2} \int_{- \infty}^{\infty} d X θ (X) (ψ^{*} \frac{d ψ}{d X} - \frac{d ψ^{*}}{d X} ψ) = \int_{0}^{\infty} d X θ (X) j (X) < \infty

$\langle \Psi | {\hat p}|\Psi\rangle = -i\hbar \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x) \psi^* \frac{d}{dx}\left( \theta(x) \psi \right)} = -i\hbar \int_{-\infty}^\infty{dx\; \left(\theta(x) \psi^* \frac{d \psi}{dx} +\frac{1}{2} \psi^*\psi \frac{d\theta}{dx}\right)} = \\ = -\frac{i\hbar}{2} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x)\left( \psi^* \frac{d \psi}{dx} - \frac{d \psi^*}{dx}\psi \right)} = \int_0^\infty{dx\; \theta(x){\mathcal J}(x)} < \infty$ Tenga en cuenta que en la última integral anterior

J (x) = - \frac{i ℏ}{2} (ψ^{*} \frac{d ψ}{d x} - \frac{d ψ^{*}}{d x} ψ)

${\mathcal J}(x) = -\frac{i\hbar}{2}\left( \psi^* \frac{d \psi}{dx} - \frac{d \psi^*}{dx}\psi \right)$ se identificó como el flujo de probabilidad local, que transmite una buena interpretación física.

Pero independientemente de cualquier comportamiento asintótico, las cosas son muy diferentes para la energía cinética promedio, ya que

⟨ Ψ | \frac{{\hat{pag}}^{2}}{2 metro} | Ψ ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} d X Ψ^{*} (X) (- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2}}{d X^{2}}) Ψ (X) = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int_{- \infty}^{\infty} d X θ (X) ψ^{*} (X) \frac{d^{2}}{d X^{2}} (θ (X) ψ (X)) =

$\langle \Psi | \frac{{\hat p}^2}{2m}|\Psi\rangle = \int_{-\infty}^\infty{dx\; \Psi^*(x) \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\right) \Psi(x)} = -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \theta(x) \psi^*(x) \frac{d^2}{dx^2}\left( \theta(x) \psi(x) \right)} =$

\frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int_{- \infty}^{\infty} d X \frac{d}{d X} [θ (X) ψ^{*} (X)] \frac{d}{d X} [θ (X) ψ (X)] = \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \int_{- \infty}^{\infty} d X ψ^{*} ψ {(\frac{d θ}{d X})}^{2} + términos finitos = \frac{ℏ^{2}}{2 metro} | ψ (0) |^{2} d (0) + términos finitos

$\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \frac{d}{dx}\left[ \theta(x) \psi^*(x) \right] \frac{d}{dx}\left[ \theta(x) \psi(x) \right]} = \frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^\infty{dx\; \psi^*\psi \left( \frac{d\theta}{dx}\right)^2} + \text{finite terms} = \frac{\hbar^2}{2m} |\psi(0)|^2\delta(0) + \text{finite terms}$ Entonces, una discontinuidad aguda del frente de onda, con

ψ (0) \neq 0

$\psi(0) \neq 0$ , significa automáticamente un infinito incómodo en la energía cinética y, en general, significa malas noticias para cualquier observable que involucre derivadas de segundo orden o superiores.

Para responder a la pregunta: el impulso promedio no necesariamente explota en presencia de discontinuidades, pero la energía cinética y cualquier promedio que involucre derivadas más altas plantean un problema. El comportamiento asintótico de la función de onda en el espacio de cantidad de movimiento debe ser tal que los observables relevantes que involucran derivadas de posición tengan promedios finitos. Esto, a su vez, implica que las discontinuidades del tipo discutido aquí deben suavizarse.

¡Pero este es solo un ejemplo especial de una función que se comporta mal! Hay muchas funciones no diferenciables o incluso discontinuas para las cuales la (esperanza de) la energía cinética es finita . Como ejemplo, tome su favorito $H^1(\mathbb{R}^d)$ función que no está en $\mathscr{C}^{1}_{L^2}(\mathbb{R}^d)$ (para usar mi notación anterior). Aquí $H^1$ es el espacio de Sobolev no homogéneo con una derivada. Si dice que es deseable que las funciones de onda físicas tengan una energía cinética promedio finita, entonces estoy de acuerdo, pero eso no tiene mucha relación con la continuidad/diferenciabilidad.
Sólo por completitud, es cierto que, por $d=3$ , las funciones de onda en el dominio del operador de energía cinética $-\Delta$ (es decir, las funciones de onda en $H^2(\mathbb{R}^3)$ ) tienen automáticamente un representante continuo (pero en general no diferenciable), por el teorema de incrustación de Sobolev. Sin embargo, esto es equivalente al requisito de que el promedio del cuadrado de la energía cinética también sea finito.
En términos de clases de discontinuidad, mi ejemplo no es más especial que el que usa, número contable de discontinuidades (removibles). Pero creo que te falta algo en la definición de un espacio de Sobolev, consulta, por ejemplo, la página 4 en math.uci.edu/~chenlong/226/Ch1Space.pdf . Las funciones en $H^2({\mathbb ℝ}^3)$ tener derivadas continuas (en el sentido de Sobolev, si prefiere ser matemáticamente preciso) de cualquier orden $\alpha \le 2$ . Así que creo que lo que estás diciendo eventualmente refuerza lo que estoy diciendo.
No me falta nada en la definición de los espacios de Sobolev ;-) Estos espacios contienen $L^2$ distribuciones que admiten derivadas "en un sentido distribucional" (en el mismo sentido en que se puede tomar la derivada de la $\delta$ distribución). Por lo tanto, no todas estas funciones son diferenciables o continuas. Sólo si el índice $s$ en $H^s$ es lo suficientemente alto (dependiendo de la dimensión del espacio) tiene incrustaciones en funciones continuas o diferenciables.
Mi punto, sin embargo, era el siguiente. Esencialmente estás diciendo: "la condición $X$ es relevante porque es una condición suficiente para tener $Y$ "; Estoy diciendo que no es necesario, por lo que, de hecho, la condición importante sigue siendo $Y$ , y no $X$ . Aquí $X$ tiene una función de onda suave, $Y$ con energía cinética media finita.
Lo siento, te pierdes algo, por lo que percibes la condición de la que estoy hablando como meramente suficiente, cuando en realidad es necesaria. El hecho de que los elementos de un espacio de Sobolev sean esencialmente distribuciones no cambia el requisito de que todos $f \in H^2({\mathbb R}^3)$ debe tener derivadas débiles $D^\alpha f \in L^2({\mathbb R}^3)$ para cualquier $\alpha \le 2$ .
Una función (al) $f \in L^2({\mathbb R}^3)$ siempre tiene derivadas débiles $D^\alpha f$ en el sentido de distribuciones, pero esto no implica $D^\alpha f \in L^2({\mathbb R}^3)$ necesariamente. $H^2({\mathbb R}^3)$ destaca aquellas funciones (al) para las que esto se cumple. Pero mientras $H^2({\mathbb R}^3) \subset L^2({\mathbb R}^3)$ , $H^2({\mathbb R}^3) \bigcap L^2({\mathbb R}^3) \neq L^2({\mathbb R}^3)$ .
Una (clase equivalente de) función(es) con derivadas distribucionales integrables cuadradas no es necesariamente continua o diferenciable . Simplemente tiene derivadas cuadradas integrables en el sentido de distribuciones. Eres tú a quien le falta algo. Como dije varias veces, solo cuando tienes la incrustación $H^s(\mathbb{R}^d)\subset C^{n}(\mathbb{R}^d)$ para algunos $n\in\mathbb{N}$ está seguro de que las funciones de Sobolev son realmente diferenciables continuamente hasta el orden $n$ .
De lo contrario, esto no es cierto en general, por ejemplo, hay $f\in H^{1}(\mathbb{R}^3)$ que no son continuas ni diferenciables . En $d=3$ , sin embargo, $H^2(\mathbb{R}^3)$ las funciones son continuas ( $C^0$ ), pero en general no siempre diferenciable. Desde $H^1$ es suficiente, sin embargo, tener una energía cinética media finita, existen funciones de onda con energía cinética media finita que incluso no son continuas.
Muéstrenme una función de onda que no sea ni continua ni diferenciable pero que no produzca infinitos en ningún observable que involucre derivadas y en ninguno de sus momentos superiores.
Eso no es tan difícil: $\psi=c\lvert x\rvert^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{x^2}{2}}$ haría el truco en $d=3$ (dónde $c^2=\int_{\mathbb{R}^3} \lvert x\rvert^{-\frac{1}{2}}e^{-x^2}dx$ ). $\psi\in H^1(\mathbb{R}^3)$ (por lo que tiene una energía cinética media finita), pero no es continua ni diferenciable en cero. Además, eso no es solo una discontinuidad que se puede eliminar cambiando un conjunto de puntos de medida cero, sino una discontinuidad "verdadera". Por supuesto, como era de esperar, $\psi\notin H^2(\mathbb{R}^3)$ , puesto que todos $H^2$ Las funciones son continuas y $\psi$ no es. Así que para resumir:
$\lVert\psi\rVert_2=1$ , $\langle\psi, -\Delta\psi\rangle_2<+\infty$ y $\langle\psi, (-\Delta)^2\psi\rangle_2=+\infty$ . ;-)
Err, " no produce infinitos en ningún observable que involucre derivadas y en ninguno de sus momentos superiores"? Definitivamente no quise decir que está permitido producir infinitos momentos superiores.
Mira, puedes decir lo que quieras, pero las cosas no cambian. Hay funciones de onda discontinuas con energía cinética promedio finita (te di una explicación y un ejemplo explícito); pero, por supuesto, no hay función de onda no suave con un promedio finito para operadores diferenciales de cualquier orden. Sin embargo, el último requisito es bastante poco físico (¿qué cantidad físicamente relevante contiene el impulso a una potencia superior a dos?), Y no lo que estaba afirmando en su respuesta .
Bien por mi. Me acabo de enterar de que eres matemático y me di cuenta de que probablemente me mostré condescendiente. Lo siento, no fue intencional. Y entiendo su posición sobre las discontinuidades, pero sigo pensando que es necesario ser consciente de sus limitaciones. Especialmente porque los propagadores, los resolventes, etc., todos involucran momentos más altos de observables de una forma u otra.
Ningún problema; y también veo su punto ;-) Matemáticamente, no hay problema con los resolventes, propagadores y, en general, con cualquier operador acotado, cuando se actúa sobre funciones discontinuas. Mi opinión es que considerar que las funciones de onda son suaves es principalmente una cuestión de conveniencia. Sin embargo, su discusión es realmente interesante, ya que muestra que uno debe tener cuidado cuando se trata de funciones de onda y operadores de momento.

abhishek amigo · Answer 3

abhishek amigo

La discontinuidad en la primera derivada de la función de onda implica que la función de onda experimenta una fuerza repentina que cambia su impulso instantáneamente. Por lo tanto, físicamente hablando, esto no es posible ya que no hay potenciales delta de dirac. Hay potenciales muy cercanos al delta de dirac y, por lo tanto, en la aproximación delta de dirac, la función de onda tendrá una discontinuidad en la primera derivada.

matriz23

"La discontinuidad en la primera derivada de la función de onda implica que la función de onda experimenta una fuerza repentina que cambia su impulso instantáneamente". Puede usted explicar por favor. ¿Estás usando la intuición clásica aquí?

abhishek amigo

Solo estoy usando la interpretación del operador de impulso que es proporcional a la primera derivada de la función de onda en la base de la posición.

matriz23

Sí recuerdo que la función de onda no es suave cuando el potencial tiene un salto infinito discontinuo como el dirac delta y el pozo infinito, los cuales no son físicos. Sin embargo, cuando actúa sobre una función de onda con el operador de cantidad de movimiento, obtiene otra función de onda. La importancia de este operador surge cuando intenta calcular el valor esperado del impulso.

matriz23

Más específicamente, cuando dice que la función de onda cambia su impulso "instantáneamente", está insinuando que el valor esperado del impulso cambia instantáneamente en el tiempo. Pero esto no es cierto porque dado que la función de onda se define en un rango infinito, siempre está en "contacto" con el potencial. Por cierto, actualmente estoy en la biblioteca del Nuevo Edificio de Física del IISc.

una mente curiosa

Vea la respuesta de yuggib de por qué esto no es cierto.

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