¿Por qué un Potencial eléctrico tiene que ser real, pero no un Potencial en mecánica cuántica?

Respuesta corta (pero críptica): los números complejos surgen en la mecánica cuántica porque nos gustaría encontrar soluciones a la ecuación diferencial

$$\frac{\partial}{\partial x}f(x) = cf(x)$$ que no explotan como $x\to \pm\infty$.

Respuesta larga:

Fundamentalmente, el cambio de la mecánica clásica a la mecánica cuántica está reemplazando funciones (observables) y números (estados) por matrices (observables cuánticos) y vectores (estados cuánticos). Los primeros ejemplos de esto (digamos, en Griffiths) es donde los vectores son funciones de valores complejos y las "matrices" son operadores diferenciales que actúan sobre el espacio de tales funciones. Como en la mecánica clásica, para dar sentido a las cantidades medidas, nos gustaría que los resultados de las medidas fueran reales, lo que es análogo a exigir que los valores propios de las matrices que corresponden a nuestros observables cuánticos sean reales (en otras palabras, el las matrices deben ser hermitianas). Siempre que la respuesta final medida sea real, no hay razón para excluir el uso de números complejos.

Sin embargo, ¡no tener razón para excluir algo es muy diferente a tener una razón para ello! Entonces, ¿por qué aparecen los números complejos en la mecánica cuántica? Esto probablemente puede estar ligado, al menos en parte, a la relación entre los operadores de posición y momento. El operador de posición no es difícil de explicar. Si tomamos la función de onda$\psi$(realmente, el cuadrado de su norma,$|\psi|^2$) como una distribución de probabilidad que nos dice dónde es probable que esté una partícula, entonces la integral

$$\langle x \rangle = \int x\,|\psi(x)|^2dx$$ mide el valor esperado de la posición de la partícula. Sin embargo, el operador de cantidad de movimiento $\hat{p} = i\frac{\partial}{\partial x}$es más difícil de interpretar. Una posibilidad es que sepa que el momento de la partícula (onda) debe estar relacionado con la derivada de la función de onda. Pero luego comprobarías que, debido al signo menos que se adquiere al hacer la integración por partes, el operador de la primera derivada $\frac{\partial}{\partial x}$no es hermitiano (esta es la parte donde secretamente requerimos que nuestras funciones de onda no exploten como $x\to \pm\infty$). De hecho, está lo más lejos posible de tener valores propios reales, ¡todos sus valores propios son puramente imaginarios! Por supuesto, podemos arreglar esto multiplicando por $i$, ¡pero hemos tenido que introducir números complejos en nuestra teoría para hacerlo!

Además, esta definición de$\hat{p}$parece casi inevitable. Una vez que sepa que el operador de posición y el operador de impulso deben tener un conmutador igual a una constante

$$[\hat{x},\hat{p}] = c$$ tienes bastante forzado $\hat{p}$ser un operador diferencial de primer orden. La condición hermitiana nos obliga entonces a introducir la $i$por las razones mencionadas anteriormente. Entonces podemos rastrear la presencia de números complejos en nuestra teoría hasta el requisito de que $\hat{x}$y $\hat{p}$tienen una relación de conmutación distinta de cero. Por qué esto es necesario también tiene una respuesta interesante, ¡pero terminaré mis divagaciones aquí!

Los números imaginarios son muy útiles para los cálculos, pero como su nombre indica, son imaginarios, no reales. Entonces, si mide algo en el mundo real , solo puede esperar obtener números reales . Esto es cierto tanto para la electrodinámica como para la QM, los valores esperados de los observables de la mecánica cuántica (es decir, las mediciones) siempre resultarán reales.

Los números imaginarios son útiles para describir ondas y surgen naturalmente en la mecánica cuántica.