En la teoría cuántica de campos, a veces tenemos que tomar el "rastro" de una distribución , . Esto sucede, por ejemplo, cuando tratamos de expandir el determinante de un operador de Dirac
Estas trazas no están bien definidas matemáticamente, porque son divergentes. Un ejemplo simple sería mirar la distribución , cuya traza se toma como . De alguna manera, los físicos son capaces de salirse con la suya con estos infinitos factores y aún obtener algo sensato. En los casos que he visto, se suele suponer que estos factores están relacionados con el volumen del espacio, que se considera infinito.
Dado que estos objetos no son de clase de seguimiento, no se garantiza que estos cálculos tengan sentido. Se supone que un rastro tiene el mismo valor independientemente de la base en la que lo calcule, también lo es el rastro de en el espacio de posición lo mismo que en el espacio de cantidad de movimiento?
De hecho, ¿cómo se toma el rastro de una distribución como , o un número arbitrario de derivadas actuando sobre una función delta?
Los matemáticos parecen pensar que no hay forma de hacerlo, ¡pero los físicos han encontrado formas de obtener resultados sensatos! Debe haber alguna forma de definirlo correctamente, ¿verdad?
Sí, en algunos casos la traza está relacionada con el volumen del espacio. Sin embargo, sería más apropiado decir que está relacionado con la cardinalidad del espacio, en otras palabras, el número de modas en el espacio. La gente suele sortear el problema de la cardinalidad infinita reduciendo el número de modas a un número finito. Esto se hace con la ayuda de alguna forma de regularización. Las cantidades que habrían sido infinitas se vuelven finitas y se puede proceder a realizar el cálculo. En el resultado final, estas cantidades se anularían si el resultado representa una cantidad física. Si no lo hacen, por lo general significa que hay algo mal. Después de que se cancelaron, se puede deshacer la regularización que hubiera hecho infinitas estas cantidades. Como se han ido, el resultado sigue siendo finito.
Lo que todo esto realmente significa es que incluso si está trabajando en un espacio donde algunas de estas trazas divergirían, los resultados de los cálculos de cantidades físicas que uno obtendría, por ejemplo, de las mediciones siempre serían finitos. La pregunta es cómo realizar el cálculo con estos infinitos para que se cancelen. La razón por la que es difícil trabajar con infinitos es porque obedecen a la aritmética cardinal . La regularización los convierte en números ordinales para que uno pueda manejarlos de la manera habitual con la aritmética ordinal. Luego, después de que se cancelaron, se puede tomar el límite necesario para eliminar la regularización.
Espero eso ayude.
unospocos4
flippiefanus