Operador de densidad de partículas en segunda forma de cuantificación

El operador de densidad de partículas viene dado por norte ( X ) = ∑ α d ( 3 ) ( X − X α ) , luego cómo derivar su representación en términos de operadores de creación y aniquilación norte ( X ) = ψ † ( X ) ψ ( X ) ?

Respuestas (1)

Esto se resuelve en la p. 20 de Fetter y Walecka . Agregaré solo un pequeño detalle adicional aquí.

Su operador de densidad de partículas norte ( X ) = ∑ α d ( X − X α ) está en forma cuantificada en primer lugar y norte ^ ( X ) = ψ ^ † ( X ) ψ ^ ( X ) se cuantifica en segundo lugar.

Cuando un operador general de un cuerpo se escribe en primera forma cuantificada j = ∑ α j ( X α ) , la segunda forma cuantificada es:

j ^ ≡ ∑ r s ⟨ r | j | s ⟩ C ^ r † C ^ s = ∑ r s ∫ d X ′ ψ r ∗ ( X ′ ) j ( X ′ ) ψ s ( X ′ ) C ^ r † C ^ s = ∫ d X ′ ψ ^ † ( X ′ ) j ( X ′ ) ψ ^ ( X ′ )

La última igualdad se sigue de ψ ^ ( X ) ≡ ∑ s ψ s ( X ) C ^ s .

En el caso del operador de densidad de partículas:

norte ^ ( X ) = ∫ d X ′ ψ ^ † ( X ′ ) d ( X − X ′ ) ψ ^ ( X ′ ) = ψ ^ † ( X ) ψ ^ ( X )

Por favor, hágamelo saber si desea obtener más detalles sobre cualquiera de estos pasos. Para una discusión algo relevante sobre la relación entre el primer y el segundo operador cuantificado, vea mi respuesta aquí: Segunda cuantificación . En esa respuesta, solo consideré el operador de interacción de dos cuerpos en detalle. Podría hacer lo mismo para los operadores de un solo cuerpo (más simples) si fuera de ayuda.

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