¿Son correctas estas manipulaciones de bra-ket?

Estoy leyendo un artículo antiguo ("Función de Wigner y otras distribuciones en espacios de fase simulados", Balazs y Jennings, Phys. Rep. 104(6), 1984), y encontré la siguiente afirmación (en la que$\hat{q}$y$\hat{p}$son un par de operadores canónicos generalizados y$\hat{\rho}$es algún operador de densidad):

También podemos evaluar$\text{Tr}[\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')\hat{\rho}]$o$\text{Tr}[\delta(\hat{p}-p')\delta(\hat{q}-q')\hat{\rho}]$... Estas cantidades, sin embargo, no son las mismas, no son simétricas en$\hat{p}$y$\hat{q}$y no son positivos en todas partes. Además, serán complejos.

Me pareció intuitivo que estos rastros podrían ser diferentes en general (ya que$\hat{q}$y$\hat{p}$no conmutar), pero no estaba tan claro que esta cantidad podría ser negativa o imaginaria, aunque claramente la función de onda en la base de la posición o el momento puede serlo.

Así que traté de ver esto evaluando un poco. Dejar$\hat{\rho} = \left|\psi\right\rangle \left\langle \psi \right|$y$\left|\psi\right\rangle = \int dq \, \psi(q)\left|q\right\rangle$en la base de la posición. Luego pensé en hacer el trazo en la base de posición, es decir

$$\begin{aligned} \text{Tr}[\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')\hat{\rho}] &= \int dq'' \left\langle q'' | \delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')\hat{\rho} | q'' \right\rangle \\ &= \int dq'' \int dq \left\langle q''|\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')|q \right\rangle \langle q|q'' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \int dq'' \int dq \left\langle q''|\delta(\hat{q}-q')\delta(\hat{p}-p')|q'' \right\rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \langle q' | \delta(\hat{p}-p') | q' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \int dp'' \langle q'|\delta(\hat{p}-p')|p'' \rangle \langle p''|q' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= \langle q'|p' \rangle \langle p'|q' \rangle |\psi(q)|^2 \\ &= |\langle q'|p' \rangle|^2 |\psi(q)|^2 \end{aligned}$$

que es siempre real y positivo, contrariamente a la declaración del papel. Así que tengo que creer que he hecho algo mal. Cualquier ayuda para señalar mi error sería muy apreciada.