Rangos de reales en el Universo Constructible LLL

A continuación he abordado sus preguntas específicas. Sin embargo, según sus múltiples preguntas sobre esto, creo que podría ser más útil dar una lista de buenas fuentes, así que lo haré primero.

• Sobre las "brechas" en el universo construible: Marek/Srebrny, Brechas en el universo construible . La introducción es muy legible y le dará una buena idea de lo que está pasando.

• Sobre la jerarquía del código maestro (y lo que sucede cuando aparecen nuevos reales): el artículo de Hodes Jumping through the transfinite . Esto también está estrechamente relacionado con el estudio de las brechas. Al igual que el artículo anterior, la introducción es una muy buena lectura.

• Sobre la estructura general de$L$: Libro de Devlin Constructibilidad . Desafortunadamente, tiene un error grave, pero ese error no afecta los resultados importantes; consulte esta revisión de Stanley para obtener un resumen del problema (y si está interesado en cómo corregirlo, este artículo de Mathias ) . En última instancia, el error es muy limitado y se evita fácilmente una vez que sabe que existe; básicamente, dude de cualquier afirmación sobre la teoría de conjuntos (acertadamente llamada) "BS", pero casi todo lo demás es correcto.

Ahora, parecería que, en principio, cada uno de estos conjuntos podría definirse en lógica de primer orden sin parámetros (aunque no estoy seguro de cómo funcionaría esto en la práctica)

Aquí no hay sutilezas: primero definimos la suma y la multiplicación de ordinales finitos, y ahora podemos usar las definiciones habituales en$(\mathbb{N}; +,\times)$de esos conjuntos en el contexto de la teoría de conjuntos. De hecho, hay una forma natural (la interpretación de Ackermann) de pasar entre$L_\omega$y$(\mathbb{N};+,\times)$, por lo que la definibilidad en$L_\omega$se puede razonar probando cosas en el entorno más familiar de definibilidad en aritmética; por ejemplo, esto nos permite argumentar que la función Busy Beaver es de hecho en$L_{\omega+1}$.

¿Sería un real no construible (asumiendo su existencia) en algún sentido infinitamente complejo en el sentido de que no podría describirse de ninguna forma, ya sea directamente o mediante algún proceso acumulativo?

Ciertamente no: por ejemplo$0^\sharp$es definitivamente definible (es$\Delta^1_3$, y en particular es definible en aritmética de segundo orden) pero no está en$L$(suponiendo que exista en absoluto). ZFC no puede probar que algo que coincida con la definición de$0^\sharp$existe, pero puede probar que si existe, entonces no es construible.

Dado un ordinal contable particular$\alpha$, ¿podemos encontrar siempre (es decir, describir explícitamente) una X real con rango L$\alpha$?

No; para muchos (de hecho, club-muchos) ordinales$<\omega_1^L$, no tenemos nuevos reales a ese nivel. De hecho, el$L$-la jerarquía está "llena de lagunas", incluso lagunas muy largas. Si buscas en Google "brechas en$L$-jerarquía" encontrará mucha información sobre esto; en términos generales, un ordinal$\alpha<\omega_1^L$comienza una brecha "larga" si es "muy" similar a$\omega_1^L$.

En términos de complejidad, los reales claramente se vuelven más complejos a medida que sus$L$-aumenta el rango, pero ¿hay alguna manera de formalizar esto con precisión?

Bueno, la obvia es que si$A$tiene$L$- rango mayor que el de$B$, entonces el conjunto$A$no es definible en la estructura$(\mathbb{N}; +,\times, B)$(esto es, aritmética aumentada por un predicado que nombra los naturales en$B$). En particular$A\not\le_TB$. Por otro lado,$A$podría no calcular$B$ya sea (por ejemplo, si$A$es "suficientemente Cohen genérico" sobre$L_\beta$entonces$A$no calculará ningún real no computable en$L_\beta$- en particular, no calculará ningún real en$L_\beta$no en$L_{\omega+1}$).