Radio de curvatura

Me encontré con una pregunta que me pedía encontrar el radio de curvatura de un proyectil .

Que yo sepa, la trayectoria de un proyectil es una parábola y he encontrado mención del radio de curvatura referente a lentes y espejos. Pero en óptica, se suponía que la lente y los espejos formaban parte de un círculo.

Mis preguntas son:

  1. ¿Cómo puede una parábola tener un centro a partir del cual se va a medir un radio?

  2. ¿Cambia el radio de curvatura con la posición del cuerpo (en movimiento de proyectil)?

  3. En mecánica y matemáticas, ¿cuál es el radio de curvatura y cómo se calcula (en el caso de una parábola)?

Normalmente requerimos "una pregunta por pregunta", pero creo que este es un ejemplo de una pregunta en la que las tres subpreguntas están tan estrechamente conectadas que dividirlas no tendría sentido.
Estás usando el significado incorrecto de esa palabra. Marque Radio de curvatura (matemáticas) , no Radio de curvatura (óptica) , y de repente todo tendrá más sentido.

Respuestas (3)

Entonces, comencemos con su última pregunta, de manera informal, el radio de curvatura es una medida de cuánto una cierta curva es puntiaguda y tiene esquinas afiladas. Dada una curva y , puede calcular su radio de curvatura usando esta fórmula:

[ 1 + ( d y d X ) 2 ] 3 2 | d 2 y d X 2 |

Puede preguntar qué tienen que ver los radios de los círculos con la curvatura, por lo que vale la pena explicarlo. Esta es una parábola:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Como puede ver, los lados de la parábola son bastante planos, mientras que su vértice y la región circundante (es decir: en X = 0 ) tienen una esquina relativamente afilada.

Entonces, la pregunta es ¿cómo describir matemáticamente esta propiedad?

Bueno, una forma de hacerlo es usar círculos. La parte de la curva que es bastante plana se puede considerar como una sección de un círculo realmente grande (como se muestra en la imagen), este círculo tiene un radio grande y, por lo tanto, decimos que esta parte de la curva tiene un radio de curvatura grande. es decir, es muy plano.

Por otro lado, el vértice de la parábola y la región que lo rodea son relativamente nítidos y puntiagudos, por lo que notará que se necesita un círculo con un radio pequeño para encajarlo en esta sección nerviosa de la parábola, decimos que esta región tiene un radio pequeño de curvatura

También notará que el radio de curvatura de una curva cambia de un punto de la curva a otro, además notará que, cuando la región es plana, la tasa de cambio del radio de curvatura es pequeña ( puede usar una pequeña cantidad de círculos grandes para describir una región plana), mientras que se necesitan muchos círculos con radios pequeños para describir una esquina afilada y, por lo tanto, la tasa de cambio del radio de curvatura es grande en estas regiones.

¿Cómo puede una parábola tener un centro a partir del cual se va a medir el radio?

No, no es así, pero cada punto de la parábola y la región circundante pueden considerarse como parte de un círculo con cierto radio.

¿Cambia el radio de curvatura con la posición del cuerpo (en movimiento de proyectil)?

Sí, como se indicó anteriormente, el radio de curvatura cambia de un punto a otro en una curva, ya que la trayectoria del proyectil se puede modelar como su posición en una parábola, por lo que el radio de curvatura cambiará con el cambio de posición del proyectil. .

Una gran respuesta; +1.
Muy bien explicado. Esta respuesta merece muchos votos a favor.
Una pregunta más. ¿Debería estar diferenciando y = X t a norte / a yo pags h a ( 1 − X R ) ¿ecuación?
@Kai Sí, esta es la ecuación que calcula tu posición vertical y en función de su X coordenada, debes encontrar la primera y la segunda derivada de esta ecuación e insertarla en la fórmula que te di en mi respuesta.
esto es pura matematica.... y me gusta :)
Este youtube.com/watch?v=bZW6aQmXf_M tiene una buena derivación que complementa la imagen, aunque intuitivamente puedes obtener todo desde la relación simple s = r θ y notando s = r θ → ( 1 / r ) = d θ / d s luego la regla de la cadena . Así que desde s = r θ vemos que la curvatura proviene de preguntar cuánto mide el ángulo θ cambio por unidad de arco s , moviendo una unidad de longitud de arco d s en el círculo grande produce un pequeño cambio de ángulo, mientras que la misma distancia en el círculo pequeño produce un mayor cambio de ángulo, por lo tanto, más curvo como es visualmente obvio.

Una parábola no tiene radio de curvatura. Cada punto de la parábola hace . Entonces, si se le pide que encuentre el radio de curvatura en una parábola, también se le debe dar el punto en la parábola.

Podemos dibujar una tangente (llámela 't') en cualquier punto (llámela 'p') en una curva. También podemos dibujar un círculo al que 't' es tangente. El radio de este círculo es el radio de curvatura de la curva dada en el punto 'p'.

Una analogía del movimiento de un cuerpo a lo largo de una trayectoria curva puede facilitar la comprensión.

Cuando un cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria curva, su velocidad sigue cambiando. Sin embargo, podemos hablar de la velocidad instantánea del cuerpo en todos y cada uno de los puntos a lo largo de la curva.

De manera similar, para una curva dada, el radio de curvatura sigue cambiando a lo largo de la curva. Sin embargo, podemos hablar de radio de curvatura en todos y cada uno de los puntos a lo largo de la curva. Se refiere al radio del círculo que tiene una tangente común con la curva dada en el punto bajo consideración.

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