Radiación de Hawking de la aproximación WKB

Al leer este documento, que es en sí mismo una exposición del documento de Parikh y Wilczek , llego a un punto en el que no puedo seguir el cálculo. Sin duda, esto se debe a que mis habilidades de cálculo se han visto afectadas por décadas de atrofia, así que me pregunto si alguien puede ayudarme. El documento calcula el coeficiente de transmisión de efecto túnel para una partícula (parte de un par de partículas/antipartículas) creada justo dentro del horizonte. El coeficiente de transmisión WKB viene dado por

$$T = exp({-\frac{2}{\hbar} Im(S)})$$ donde "Im" es la parte imaginaria, y la acción, $S$, se evalúa sobre la región clásicamente prohibida. Usando las coordenadas de Painleve-Gullstrand para el agujero negro, el documento deriva, de manera bastante directa, $$Im(S) = Im \int_{2M}^{2(M-\omega)}{dr \int_{0}^{\omega}d\omega' {\frac{1}{1-\sqrt{\frac{2(M-\omega')}{r}}}}}$$ (ecuación 41). $\omega$es la energía llevada a cabo por la partícula tuneladora. Ahora el siguiente paso es donde me quedo atascado. La siguiente ecuación (42) sugiere que la integración r se ha realizado para obtener de (41)->(42). Esto es lo que sucede cuando intento hacerlo:

Presumiblemente, la integral de contorno a la que se hace referencia está en la variable r complejizada. La forma en que aparece la "r" no es muy agradable, así que hacemos una sustitución$z=r^{\frac{1}{2}}$, donación

$$Im \int_{2M}^{2(M-\omega)}dz{\frac{2z^2}{z-\sqrt{2(M-\omega')}}}$$ . La charla de deformar el contorno "en el plano E" sugiere que hagamos la energía ligeramente imaginaria - agregue $i\delta$a $\omega$donde $\delta$es pequeño. La expresion $\sqrt{2(M-\omega+i\delta)}$luego se puede expandir en potencias delta, dejando $\sqrt{2(M-\omega)}+i\delta$(después de la expansión, he redefinido delta para eliminar los factores constantes; esto no importa porque de todos modos vamos a integrar el contorno alrededor del polo, por lo que mover el polo hacia arriba y hacia abajo no hace ninguna diferencia). Entonces, el plano z se ve como el primer diagrama aquí, donde la X grande es el polo desplazado. En última instancia, queremos evaluar la integral entre los dos puntos en el eje real.

Bueno, lo único que puedo hacer es integrar alrededor del contorno verde que se muestra en la segunda figura. la respuesta es solo$2\pi i$veces el residuo en el polo simple, es decir, en este caso

$$2\pi i\cdot\lim_{z \to {\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta}}(z-\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta)\cdot \frac{2z^2}{(z-\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta}$$ , $$=2\pi i\cdot2\cdot(\sqrt{2(M-\omega')}+i\delta)^2$$ $$=8\pi i \cdot(M-\omega')$$ aprox.

Esto se parece a lo que quiero, a saber$4\pi i \cdot(M-\omega')$para obtener la ecuación (42) (aparte de un factor de 2). Sin embargo

(1) El siguiente paso sería relacionar la integral de contorno cerrado con la integral a lo largo del eje real. Desafortunadamente, esto depende de que el integrando desaparezca durante grandes$|z|$en el semiplano positivo, pero este no parece ser el caso aquí

(2) Y de todos modos queremos la integral entre$\sqrt{2(M-\omega)}$y$\sqrt{2M}$, entonces, ¿cómo manejaría la integral a lo largo de otras partes en el eje real (es decir, fuera de la región clásicamente prohibida)?

Cualquier sugerencia sería bienvenida (o una forma alternativa de calcular el coeficiente de transmisión de tunelización).