Conservación de la probabilidad en túneles WKB

I) Recuerde que la probabilidad actual 1D QM es

$$\tag{1} J(x)~:=~\frac{i\hbar}{2m}W(\psi,\psi^{\ast}) (x),$$

dónde

$$\tag{2} W(\psi,\psi^{\ast}) (x)~:=~\psi(x) \psi^{\prime}(x)^{\ast}- \psi^{\prime}(x)\psi(x)^{\ast}$$

es el wronskiano. Unitaridad de la$S$-matriz es equivalente a la afirmación de que

$$\lim_{x\to -\infty} W(\psi,\psi^{\ast}) (x)~=~\lim_{x\to +\infty} W(\psi,\psi^{\ast}) (x), \tag{3}$$

cf. por ejemplo, ec. (11) en mi respuesta Phys.SE aquí . Una condición suficiente para la unitaridad es que el Wronskiano (2) no dependa de la$x$-posición.

II) En primer lugar, existen muchas aproximaciones WKB semiclásicas en la literatura, por ejemplo, en qué orden en$\hbar$¿Estamos hablando? Si consideramos algún esquema de aproximación WKB truncado, no hay ninguna razón a priori por la que deba satisfacerse la condición de unitaridad (3).

En segundo lugar, la naturaleza unidireccional de las fórmulas de conexión a menudo hace que sea imposible determinar la rama que crece exponencialmente en un lado clásicamente prohibido a partir del conocimiento sobre el lado clásicamente permitido de un punto de inflexión, en particular en situaciones con muchos puntos de inflexión, cf. por ejemplo, ref. 1-3.

OP presumiblemente está interesado en el caso de una sola barrera potencial con dos puntos de inflexión. Este caso se ha resuelto por completo en la literatura utilizando, por ejemplo, técnicas de aproximación uniforme, y la fórmula WKB resultante conserva la unitaridad, véase, por ejemplo, la Ref. 3. Sin embargo, no consideraremos estos métodos aquí.

Para el resto de esta respuesta, consideraremos la siguiente fórmula WKB

$$\psi(x) ~=~A(x)\sum_{\sigma=\pm 1} C_{\sigma}(x;x_0)~ \exp\left(\frac{i}{\hbar}\sigma S(x;x_0)\right)$$ $$~=~A(x)\sum_{\sigma=\pm 1} B_{\sigma}(x;x_0)~ \cos\left(\frac{1}{\hbar} S(x;x_0)+\sigma\frac{\pi}{4}\right),\tag{4}$$

escrito en términos de una función exponencial o una función coseno, donde

$$A(x)~:=~\frac{1}{\sqrt{p(x)}} , \qquad S(x;x_0)~:=~ \int_{x_0}^x\!dx^{\prime}~p(x^{\prime}),$$ $$p(x)~:=~ \sqrt{2m(E-V(x))},\qquad E,V(x)~\in~\mathbb{R}; \tag{5}$$

$x_0\in \mathbb{R}$es un punto de referencia fijo;$\sigma\in\{\pm 1\}$es un signo; y$B_{\sigma}(x;x_0),C_{\sigma}(x;x_0)\in\mathbb{C}$son complejos por partes$x$-constantes independientes. Como veremos en la Sección VI, las constantes por tramos$B_{\sigma}(x;x_0)$y$C_{\sigma}(x;x_0)$puede saltar en puntos de inflexión debido a la corrección metapléctica / índice de Maslov , cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE y las referencias que contiene. Está implícitamente implícito que las dos raíces cuadradas en la fórmula (5) son ramas elegidas apropiadamente, no funciones de doble valor.

III) No tenemos ningún argumento a priori de por qué el Wronskiano de la aproximación WKB (4) debería ser$x$-independiente a todos los pedidos en$\hbar$. Sin embargo, es interesante e instructivo analizar su forma. El wronskiano de la aproximación WKB (4) se convierte en

$$W(\psi,\psi^{\ast}) ~\stackrel{(2)+(4)}{=}~\sum_{\sigma=\pm 1}\sum_{\sigma^{\prime}=\pm 1} \exp\left[\frac{i}{\hbar}\left(\sigma S -\sigma^{\prime}S^{\ast}\right)\right]$$ $$\left[|A|^2(C_{\sigma} C^{\prime\ast}_{\sigma^{\prime}} - C^{\prime}_{\sigma} C^{\ast}_{\sigma^{\prime}}) + C_{\sigma} C^{\ast}_{\sigma^{\prime}}\left\{ (AA^{\prime \ast} - A^{\prime}A^{\ast}) - \frac{i}{\hbar}|A|^2(\sigma p+\sigma^{\prime} p^{\ast} ) \right\}\right] .\tag{6}$$

En primer lugar, uno puede argumentar (usando argumentos$^1$similar a lo que se hace a continuación) que el término

$$AA^{\prime \ast} - A^{\prime}A^{\ast}~=~0\tag{7}$$

desaparece en la ec. (6). En segundo lugar, el término$C_{\sigma} C^{\prime\ast}_{\sigma^{\prime}} - C^{\prime}_{\sigma} C^{\ast}_{\sigma^{\prime}}$es proporcional a las funciones delta con soportes en los puntos de inflexión. Por lo tanto, lejos de los puntos de inflexión, el Wronskiano (6) se simplifica a

$$W^{\neq}(\psi,\psi^{\ast}) ~\stackrel{(6)}{=}~- \frac{i}{\hbar}|A|^2 \sum_{\sigma=\pm 1}\sum_{\sigma^{\prime}=\pm 1} C_{\sigma} C^{\ast}_{\sigma^{\prime}}\left(\sigma p+\sigma^{\prime} p^{\ast} \right)\exp\left[\frac{i}{\hbar}\left(\sigma S -\sigma^{\prime}S^{\ast}\right)\right]$$ $$~=~\frac{1}{\hbar}|A|^2 \sum_{\sigma=\pm 1}\sum_{\sigma^{\prime}=\pm 1} B_{\sigma} B^{\ast}_{\sigma^{\prime}} \left[p\sin\left(\frac{1}{\hbar} S+\sigma\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\frac{1}{\hbar} S^{\ast}+\sigma^{\prime}\frac{\pi}{4}\right)\right.$$ $$\left. -p^{\ast}\cos\left(\frac{1}{\hbar} S+\sigma\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{1}{\hbar} S^{\ast}+\sigma^{\prime}\frac{\pi}{4}\right)\right]. \tag{8}$$

IV) Región permitida clásicamente$E>V(x)$. Después$p$y$S$ambos son reales, y debemos elegir los mismos signos$\sigma=\sigma^{\prime}$en la versión exponencial de la ec. (8) para obtener contribuciones distintas de cero. El factor exponencial es entonces simplemente$1$. El wronskiano (8) es$x$-independiente

$$\tag{9} W^>(\psi,\psi^{\ast}) ~\stackrel{(8)}{=}~- \frac{2i}{\hbar}|A|^2p\sum_{\sigma=\pm 1}\sigma |C_{\sigma}|^2 ~=~ \frac{1}{\hbar}|A|^2p\sum_{\sigma=\pm 1}\sigma B_{\sigma}B^{\ast}_{-\sigma},$$

porque$|A|^2p$es$x$-independiente, cf. ec. (5). La última expresión de la ec. (9) se sigue de la versión trigonométrica de la ec. (8) con la ayuda de una fórmula de suma trigonométrica.

V) Región clásicamente prohibida$E<V(x)$. Después$p$y$S$ambos son imaginarios, y debemos elegir signos opuestos$\sigma=-\sigma^{\prime}$en la versión exponencial de la ec. (8) para obtener contribuciones distintas de cero. El factor exponencial es entonces simplemente$1$. El wronskiano (8) es$x$-independiente

$$\tag{10} W^<(\psi,\psi^{\ast}) ~\stackrel{(8)}{=}~- \frac{2i}{\hbar}|A|^2p\sum_{\sigma=\pm 1}\sigma C_{\sigma}C^{\ast}_{-\sigma} ~=~ \frac{1}{\hbar}|A|^2p\sum_{\sigma=\pm 1}\sigma |B_{\sigma}|^2.$$

(Los superíndices$>$y$<$se refieren a las regiones clásicamente permitidas y prohibidas, respectivamente).

VI) Un punto de inflexión$V(x_0)=E \Leftrightarrow p(x_0)=0$. Supongamos por simplicidad de notación$x_0=0$. Supongamos que en un vecindario alrededor$x_0=0$, el potencial se puede aproximar con un lineal$^2$potencial

$$\tag{11} V(x)-E~\propto ~x,$$

es decir, un lado está permitido clásicamente y el otro lado está prohibido clásicamente. Entonces la ec. (5) implica

$$\tag{12} p(x)~\propto ~x^{\frac{1}{2}}, \qquad S(x)~\propto ~x^{\frac{3}{2}},\qquad A(x)~\propto ~x^{-\frac{1}{4}}.$$

El TISE del potencial lineal (11) se convierte en la ecuación de Airy . A partir de la expansión asintótica de las funciones de Airy, se derivan las fórmulas de conexión de Airy

$$\tag{13} \exp\left(\sigma\frac{2}{3}|x|^{\frac{3}{2}}\right) \quad\longleftrightarrow\quad\frac{3-\sigma}{2}\cos\left( \frac{2}{3}|x|^{\frac{3}{2}}+\sigma\frac{\pi}{4}\right)$$

entre lo positivo y lo negativo$x$-eje, donde$\sigma\in\{\pm 1\}$. Las fórmulas de conexión Airy (13) conducen a las fórmulas de conexión WKB

$$\tag{14} C^<_{+1}~=~e^{\frac{i\pi}{4}}B^>_{+1}, \qquad 2C^<_{-1}~=~e^{\frac{i\pi}{4}}B^>_{-1},$$

para los coeficientes complejos$B_{\sigma},C_{\sigma}\in\mathbb{C}$, si adaptamos las siguientes convenciones de signos

$$\tag{15} p^<~=~ip^>\qquad A^<~=~e^{-\frac{i\pi}{4}}A^>$$

para las raíces cuadradas en la ec. (5). En forma matricial tenemos

$$\tag{16} C^<~=~\begin{pmatrix} 1 & i \cr \frac{i}{2} &\frac{1}{2} \end{pmatrix} C^>\qquad\text{and}\qquad C^>~=~\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -i \cr -\frac{i}{2} &1 \end{pmatrix} C^<.$$

Tenga en cuenta que las fórmulas de conexión (14) y (15) implican que el wronskiano

$$\tag{17} W^>(\psi,\psi^{\ast}) ~=~W^<(\psi,\psi^{\ast})$$

de la aproximación WKB (4) no salta en el punto de inflexión, cf. ecuaciones (9) y (10).

Las fórmulas de conexión de Airy (13) pueden parecer superficialmente fórmulas de conexión bidireccional, pero eso es una ilusión. Debido a su naturaleza asintótica, implica una elección implícita (posiblemente ilegítima), que hemos hecho por simplicidad.

Es posible utilizar métodos complejos más generales que involucren el método del descenso más pronunciado , lo que conduce al principio de dominancia exponencial:

"Un multiplicador$C_+$, o$C_-$solo puede cambiar en un buen camino cuando cruza una línea de Stokes en la que su exponencial es subdominante".

Se puede demostrar que este principio obedece a la unitaridad, véase, por ejemplo, Ref. 3 para más detalles.

TL; DR: Hemos argumentado utilizando varios supuestos simplificadores que la fórmula WKB (4) conserva la unitaridad.

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Referencias:

1. D. Griffiths, Introducción a QM, Capítulo 8.

2. A. Galindo & P. ​​Pascual, QM2, Capítulo 9.

3. MV Berry & KE Mount, Aproximaciones semiclásicas en mecánica ondulatoria, Rep. Prog. Phys 35 (1972) 315 ; Capítulo 3 y 4.

$^1$Por ejemplo, en un punto de inflexión$x_0$, la transformación$x\to -x$induce un cambio de signo en el lado izquierdo de la ecuación. (7). ¡Pero menos cero sigue siendo cero!

$^2$Dejamos al lector analizar los casos de puntos de inflexión de orden superior y el caso de un muro duro infinito.