¿Qué tiene de no abeliana la teoría no abeliana de Chern-Simons?

Question

¿Qué tiene de no abeliana la teoría no abeliana de Chern-Simons?

indicador
Física
supersimetría
invariancia de calibre
chern-simons-theory
teoría cuántica de campos

usuario6818

Uno es consciente de que en el calibre axial (digamos el calibre del cono de luz $A_{-}=0$ ) La teoría no supersimétrica de Chern-Simons es una teoría cuadrática. Por lo tanto, en este indicador no hay interacciones indicador-indicador. Entonces, ¿qué hay de no abeliano en esta teoría?

¿Hay efectos que existen a pesar de lo anterior que hacen que la teoría sea diferente de la abeliana?
Soy consciente de que existen cálculos de funciones de partición exactas para la teoría de Chern-Simons sobre 3 variedades compactas. ¿Es ese el punto sutil de que la no abelianidad se manifestará de alguna manera cuando se encuentre en un espacio-tiempo compacto? (... o en variedades con límite? ..) ¿Que hay alguna razón por la que no existan calibres axiales tan convenientes para espacios-tiempos compactos? (..aunque no puedo ver por qué uno no siempre puede elegir $A_{-}=0$ ... debido a que las 3 variedades son paralelizables, no hay restricciones topológicas, pero podría haber un problema con las ambigüedades de Gribov ... No lo sé y me gustaría saberlo)
Supongo que para las teorías supersimétricas de Chern-Simons, esta pregunta en sí no surge, ya que supongo que no hay opciones de medida en las que la teoría se vuelva cuadrática en los campos de medida.

(- relacionado, me encantaría saber de cualquier prueba/argumento de por qué no puede haber una elección de calibre para la teoría YM que lo hará cuadrático - el calibre axial puede matar el término cuartico pero supongo que eso es lo mejor que se puede hacer ..)

Motl de Luboš

No abeliano simplemente significa "relacionado con grupos que no viajan diariamente", lo que seguramente es la teoría CS no abeliana. Su elección de medidor de cono de luz es muy mala para estudiar las cantidades interesantes en la teoría CS que dependen de la topología del espacio-tiempo o la inserción de defectos. Solo es válido cuando la teoría CS es bastante trivial y vacía. Sí, si intentara mejorar el calibre del cono de luz para que fuera compatible con otras topologías, el carácter de no conmutación de la teoría volvería.

usuario6818

@LubošMotl Pero el indicador de cono de luz es bastante simplificador: ¡mire la literatura reciente sobre teoría de espín más alto! Sin el indicador de cono de luz, es difícil ver cómo uno podría haber obtenido estas respuestas exactas en el límite de `tHooft para funciones de 2 puntos y energías libres. Y en estos casos no sé qué es no abeliano. Entonces, cuando uno se encuentra en tales escenarios de no tener problemas topológicos, ¿entonces la CS no abeliana es diferente de la abeliana?

Heidar

Creo que lo que te estás perdiendo es el hecho de que, en la corrección de calibre anterior, es cierto que la acción parece cuadrática y sin interacción. Sin embargo, con la fijación de calibre sigue una restricción no lineal que esencialmente codifica las auto-interacciones (y por lo tanto, la estructura no abeliana) de la teoría. Todas las fluctuaciones de calibre permitidas DEBEN satisfacer la restricción y no se le permite olvidarla.

Respuestas (1)

¿Qué tiene de no abeliana la teoría no abeliana de Chern-Simons?

No abeliano simplemente significa "relacionado con grupos que no viajan diariamente", lo que seguramente es la teoría CS no abeliana. Su elección de medidor de cono de luz es muy mala para estudiar las cantidades interesantes en la teoría CS que dependen de la topología del espacio-tiempo o la inserción de defectos. Solo es válido cuando la teoría CS es bastante trivial y vacía. Sí, si intentara mejorar el calibre del cono de luz para que fuera compatible con otras topologías, el carácter de no conmutación de la teoría volvería.
@LubošMotl Pero el indicador de cono de luz es bastante simplificador: ¡mire la literatura reciente sobre teoría de espín más alto! Sin el indicador de cono de luz, es difícil ver cómo uno podría haber obtenido estas respuestas exactas en el límite de `tHooft para funciones de 2 puntos y energías libres. Y en estos casos no sé qué es no abeliano. Entonces, cuando uno se encuentra en tales escenarios de no tener problemas topológicos, ¿entonces la CS no abeliana es diferente de la abeliana?
Creo que lo que te estás perdiendo es el hecho de que, en la corrección de calibre anterior, es cierto que la acción parece cuadrática y sin interacción. Sin embargo, con la fijación de calibre sigue una restricción no lineal que esencialmente codifica las auto-interacciones (y por lo tanto, la estructura no abeliana) de la teoría. Todas las fluctuaciones de calibre permitidas DEBEN satisfacer la restricción y no se le permite olvidarla.

FraSchelle · Answer 1

No sé mucho sobre la teoría de Chern-Simons y su uso en teorías supersimétricas, por lo que realmente no puedo ayudar con todas sus preguntas. Pero la diferencia entre el término abeliano y no abeliano de Chern-Simons es muy clara a partir de su definición.

Por lo general, un término de Chern-Simons se lee en general (abajo para un $2+1$ -problema dimensional)

L_{CS} = \frac{k}{4 π} \int Tr {A \land d A + \frac{2}{3} A \land A \land A} = \frac{k}{8 π} \int ε^{i j k} Tr {A_{i} (\partial_{j} A_{k} - \partial_{k} A_{j}) + \frac{2}{3} A_{i} [A_{j}, A_{k}]}

$L_{\text{CS}}=\dfrac{k}{4\pi}\int\text{Tr}\left\{ A\wedge dA+\dfrac{2}{3}A\wedge A\wedge A\right\} =\dfrac{k}{8\pi}\int\varepsilon^{ijk}\text{Tr}\left\{ A_{i}\left(\partial_{j}A_{k}-\partial_{k}A_{j}\right)+\dfrac{2}{3}A_{i}\left[A_{j},A_{k}\right]\right\}$

tal que, para un campo de norma abeliano, uno como

L_{CS} = \frac{k}{8 π} \int ε^{i j k} Tr {A_{i} (\partial_{j} A_{k} - \partial_{k} A_{j})}

$L_{\text{CS}}=\dfrac{k}{8\pi}\int\varepsilon^{ijk}\text{Tr}\left\{ A_{i}\left(\partial_{j}A_{k}-\partial_{k}A_{j}\right)\right\}$

desde $\left[A_{j},A_{k}\right]=0$ de la definición anterior. En la práctica, significa que el campo de medida está en el álgebra de Lie relacionado con el $\text{U}\left(1\right)$ grupo de mentiras.

En resumen, el término abeliano de Chern-Simons es solo una restricción del término de Chern-Simons para el calibre abeliano.

¿Qué tiene de no abeliana la teoría no abeliana de Chern-Simons?

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Motl de Luboš

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