**Estructura de grupo** en la teoría de Chern-Simons?

Un Chern-Simons(CS) no abeliano tiene la acción

S = ∫ L d t = ∫ k 4 π T r [ ( A ∧ d A + ( 2 / 3 ) A ∧ A ∧ A ) ]

Sabemos que los casos comunes, A = A a T a es la conexión como un álgebra de Lie valorada de una sola forma. T a es el generador del grupo de Lie.

El caso bien conocido es la bien definida teoría SU(2) CS y la teoría SO(3) CS.

SU(2) es un grupo de Lie compacto , simple y simplemente conexo .

SO(3) es un grupo de Lie compacto, simple, conexo pero no simplemente conexo .

Pregunta : ¿Cuál es el requisito mínimo en la estructura del grupo de A en la teoría de Chern-Simons?

¿Podemos tener el grupo de A de la teoría CS:

(1) para NO ser un grupo de mentiras ?

(2) para ser NO compacto?

(3) para NO estar conectado?

(4) ser un grupo de mentiras pero NO un grupo de mentiras simples ?

Por favor, ¿podría explicar también por qué es así, y mejor con algunos ejemplos de (1), (2), (3), (4).

PD. Por supuesto, sé que se requiere que la teoría CS sea invariante bajo una transformación de calibre

A → tu † ( A − i d ) tu
con un límite se deriva un término de Wess-Zumino-Witten. Aquí estoy cuestionando la restricción sobre el grupo. ¡Muchas gracias!

Necesito al menos una reputación de 10 para agregar más enlaces web en esos términos en semi-simple, etc. Si alguien puede ayudar, por favor...
Hay una formulación de 2 + 1 la gravedad como teoría CS. Los grupos en este caso son yo S O ( 2 , 1 ) , S O ( 3 , 1 ) y S O ( 2 , 2 ) (dependiendo de la elección de la constante cosmológica). Entonces, supongo que la compacidad y la (semi)simplicidad son opcionales. La referencia es: Witten, E. (1988). La gravedad dimensional 2+1 como un sistema exactamente soluble . Física nuclear B, 311(1), 46-78. doi _
Bueno saber. ¡Gracias! Más comentarios/Referencia serán útiles.
Otra referencia son las teorías CS con grupos calibre finitos: Dijkgraaf, R., & Witten, E. (1990). Teorías de gauge topológicas y cohomología de grupos . Comunicaciones en Física Matemática, 129(2), 393-429. preimpresión doi . Así que realmente no necesitamos que el grupo sea un grupo de Mentira.
Pero si esas teorías de Dijkgraaf-Witten siempre se pueden escribir como una acción continua de Chern-Simons. ¿O puede que no lo sea? ¿Siempre hay una transformación de calibre continua para esas teorías de calibre discretas?
La formulación de la teoría DW a través de la acción CS está aquí: Freed, DS y Quinn, F. (1993). Teoría de Chern-Simons con grupo calibre finito . Comunicaciones en Física Matemática, 156(3), 435-472. arXiv:hep-th/9111004 . De hecho, solo hay transformaciones de calibre triviales para grupos discretos.
@ user23660, ¿puede especificar cuáles son sus transformaciones de calibre triviales? ¿Tiene formas finitas e infinitesimales de transformaciones de calibre? Gracias.
No hay transformaciones de calibre infinitesimales para el grupo finito. En este caso, la transformación de calibre es solo una transformación de cubierta (global) del espacio de cobertura subyacente.

Respuestas (1)

El nLab es una gran referencia para todas estas cosas y parece responder a todas sus preguntas. Hacen un mejor trabajo al explicar por qué de lo que probablemente haría yo.

Su página sobre la teoría de Chern-Simons parece responder a las preguntas (2)-(4). Proporcionan un método para construir teorías de Chern-Simons a partir de grupos de Lie compactos genéricos en la página enumerada. También tienen una sección que describe la construcción de Witten para la gravedad 2+1, que debería constituir un conjunto de ejemplos.

Las teorías de Dijkgraaf-Witten pueden considerarse como teorías de Chern-Simons porque se construyen de la misma manera que se construyen las teorías de Chern-Simons. Esto se puede ver comparando las dos definiciones y construcciones en las páginas de nLab vinculadas aquí. En este sentido las teorías DW son teorías CS construidas a partir de grupos discretos.

En cuanto a ejemplos, creo que el más simple es el D( Z 2 ) Dijkgraaf-Witten TQFT, que tiene una realización hamiltoniana en el modelo de código tórico de Kitaev.

Como solo pude incluir dos referencias arriba, la referencia para el código tórico es arxiv.org/abs/quant-ph/9707021 .
esto puede ser de su interés: physics.stackexchange.com/questions/121384/…
**Estructura de grupo** en la teoría de Chern-Simons?
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