¿Cómo distinguir un espacio-tiempo genérico de un espacio plano?
Esta pregunta (aparentemente tonta) me desconcertó después de leer algo sobre el espacio-tiempo Vanishing Scalar Invariant (VSI) (por ejemplo, ondas PP, espacios con todas las invariantes de curvatura polinómica desapareciendo) y espacios de Kundt. Véase, por ejemplo , wikipedia .
¿Por qué necesitamos mirar invariantes no polinómicos o el algoritmo de Cartan-Karlhede para discriminar entre VSI y espacio plano si ingenuamente pudiéramos simplemente mirar el tensor de Riemann y ver que no es idénticamente cero?
¿Me estoy perdiendo algo trivial aquí?
Tiene razón en que si obtiene cero idéntico para todos los componentes del tensor de Riemann, todos los invariantes, polinómicos o no, también serán cero. Puedes distinguir los espaciotiempos planos de varias maneras, esas son dos. Claramente, otra es si puede encontrar una transformación de coordenadas en un espacio-tiempo de Minkowski. Puedes usar cualquiera de esos.
Lo que es más importante sobre los espaciotiempos VSI y los espaciotiempos Kundt es que tienen algunas propiedades físicas interesantes y útiles. Se pueden clasificar y han servido como laboratorio para estudiar diversas soluciones al vacío e incluso sin vacío de tipos especiales. Eso incluye soluciones exactas de ondas gravitacionales y también electromagnéticas.
Un artículo de 2002 en https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0209024v1.pdf encuentra todos los espaciotiempos con invariantes de curvatura que se desvanecen, es decir, todos los polinomios invariantes o escalares que se desvanecen. Discuten varias razones por las que son importantes. Todos o la mayoría de ellos son espaciotiempos con propiedades algebraicas geométricas especiales y tienen algún significado físico.
Los espaciotiempos algebraicamente especiales se refieren a los espaciotiempos de Petrov tipo III, N u O, que se clasifican de esa manera en función de cuántos vectores propios nulos tiene el tensor de Weyl. Para las clasificaciones de Petrov, consulte https://en.m.wikipedia.org/wiki/Petrov_classification , y para el tensor de Weyl, consulte https://en.m.wikipedia.org/wiki/Weyl_tensor .
El tensor de Weyl es la única parte del tensor de Riemann que es distinta de cero en el espacio-tiempo del vacío. Transmite información sobre cómo se distorsiona el espacio-tiempo. El tensor de Ricci, la traza del tensor de Riemann, está determinado por las ecuaciones de campo de Einstein que lo relacionan con el tensor de tensión-energía, proporciona información sobre los cambios de volumen del espacio-tiempo y es cero en el vacío. Un vacío no plano tiene un tensor de Weyl distinto de cero. Para los tipos de Petrov mencionados anteriormente, existen soluciones VSI. El documento de 2002 citado anteriormente identifica todas las soluciones VSI (busca expresiones para todas las métricas y las funciones con ecuaciones a resolver que denotan las diferentes soluciones).
La solución de este tipo más conocida es la solución de ondas pp, ondas planas paralelas que llenan el espacio-tiempo. Son físicamente interesantes por derecho propio, como lo son las ondas planas en la Teoría cuántica de campos, y tienen la interesante propiedad de que se pueden sumar dos soluciones de este tipo si comparten la dirección del movimiento, por lo que muestran una especie de linealidad. Esas y algunas de las otras soluciones VSI especiales tienen propiedades únicas de valor para la gravedad cuántica. Las ondas Pp, por ejemplo, también son soluciones de la teoría de cuerdas y versiones generalizadas de la teoría de supercuerdas, y son válidas para todos los órdenes de perturbación en la tensión de la cuerda. Otras soluciones tienen correcciones que desaparecen hasta dos bucles, y luego desaparecen todas las correcciones de todos los órdenes de bucle.
Entonces, esos son relevantes ya sea que use invariantes no polinomiales o no.
qmecanico
bob abeja
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