¿Qué sucede si dejas que un rollo de cable se deslice hacia un agujero negro?

Ya sea que se trate de un agujero negro o de alguna otra masa más ordinaria que tire de la cuerda, en realidad no es tan interesante. Para empezar, pensemos en un cable que se desenrolla sobre la Tierra.

Lo que tenemos es una polea con una cuerda colgando de un lado. El peso de la cuerda ejerce cierta fuerza sobre el borde de la polea, lo que hace que experimente una aceleración angular (comienza a girar). Esto suelta un poco más de cuerda, por lo que la fuerza aumenta un poco, la aceleración aumenta, la polea gira cada vez más rápido. Algunas suposiciones:

• Supongamos que nuestro carrete de cuerda es muy grande, por lo que siempre queda mucha cuerda en él y el cambio en la masa de la cuerda enrollada no es importante.
• Supongamos también que los cojinetes o lo que sea que permita que la polea gire no tienen fricción.
• Además, no compliquemos nada con velocidades relativistas, todavía.

Una vez que el extremo de la cuerda toca el suelo, la polea ya no siente el peso de la parte de la cuerda que está en el suelo. Como siempre hay una cantidad constante de cuerda entre la polea y el suelo, la fuerza es constante. La polea continúa girando más rápido, pero con aceleración constante. Aún suponiendo que las velocidades sigan siendo no relativistas por ahora. Ahora, para la primera consideración con el agujero negro. En lugar de "tocar el suelo", el extremo de la cuerda ahora "toca la singularidad". La polea ya no siente el peso de la porción de cuerda absorbida por la singularidad. Estamos agregando un poco de masa al agujero negro, pero supongamos que la masa de la cuerda que estamos alimentando es pequeña en comparación con la masa del agujero negro (similar a cómo d suponga que la masa de la cuerda que está en el suelo es mucho menor que la masa de la Tierra). Esto significa que la fuerza gravitacional ejercida por el agujero negro no aumenta. Así que realmente tenemos exactamente el mismo escenario. No te preocupes, se volverá más complicado en un minuto.

A medida que la polea sigue girando más rápido, su borde (la parte que gira más rápido) crece a una fracción apreciable de la velocidad de la luz. La cuerda sale a la misma velocidad que se mueve el borde de la polea, por lo que ahora también se mueve relativistamente. Ahora la intuición newtoniana comienza a desmoronarse. Otra forma de ver lo que ha estado sucediendo es en términos de energía. La cuerda comienza con algo de energía potencial gravitatoria (por tener una altura sobre la Tierra/agujero negro/lo que sea). A medida que cae, pierde energía potencial, que se convierte en energía cinética de la cuerda y la polea giratoria. Las consideraciones newtonianas le dirían algo como:

$$-\Delta U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$ $v$es la velocidad de la cuerda y $\omega = v/r$es la velocidad angular de la polea (igual a la velocidad de la cuerda dividida por el radio de la polea). De todos modos. Esto se rompe una vez que las velocidades comienzan a volverse relativistas. La energía todavía se conserva, pero el cambio de velocidad obtenido para una entrada de energía dada comienza a disminuir. Puedes poner más y más energía, y la velocidad siempre seguirá aumentando, pero el aumento para una cantidad dada de energía se vuelve cada vez más pequeño. La velocidad sigue aumentando, acercándose a la velocidad de la luz, pero nunca la alcanza. llegarás a $.9c$, entonces $.99c$, entonces $.999c$, eventualmente $.9999999999999...999999c$, pero nunca alcanzar $1.0c$.

En la práctica, muchas otras cosas le impiden llegar a velocidades relativistas en primer lugar. Es posible que tenga una polea casi sin fricción, pero casi no es cero, y a medida que aumentan las velocidades, la producción de calor de la fricción destruirá su equipo. O la fricción del aire en la cuerda aumentará con la velocidad hasta que se alcance el equilibrio y la cuerda caiga a una velocidad constante. Por supuesto, no hay aire sobre un agujero negro... Necesitas mucha energía para llegar a velocidades relativistas, lo que significa que debes dejar caer MUCHA cuerda. Y cuanta más cuerda necesites soltar, más tendrás que enrollar. Pero esto aumenta la masa de la bobina, lo que aumenta la energía necesaria para acelerarla. Entonces se necesita más cuerda. Pero esto aumenta la masa de la bobina... es probable que su bobina se vuelva tan masiva que colapse y se forme.

También hay preocupaciones sobre la resistencia a la tracción de la cuerda. No puede colgar su carrete arbitrariamente alto, en algún momento el peso de la cuerda debajo de un segmento dado será tanto que la cuerda se romperá. Esto empeora aún más alrededor de un agujero negro. A medida que la cuerda se acerca a la singularidad, la fuerza de marea en la cuerda aumenta dramáticamente. Básicamente, el BH está tirando más fuerte de un trozo de cuerda cercano que de un trozo más distante. A medida que se acerca a la singularidad, la fuerza de marea tiende al infinito, por lo que incluso la cuerda imaginable más duradera se romperá.

Hasta ahora todo esto ha sido mecánica clásica y relatividad especial. Ni siquiera intentaré empezar a introducir la relatividad general en esto.

Esas son algunas ideas para hacerte pensar un poco. Puede jugar con suposiciones y agregar nuevas consideraciones para diferentes efectos más o menos hasta el infinito. Pero el gran mensaje para llevar es:

• Nada con masa puede moverse más rápido o igual a$c$, incluso si hay agujeros negros involucrados (partículas sin masa como el fotón pueden moverse a$c$, y de hecho no puede moverse más rápido o más lento que esto).
• Cuanto más rápido se mueve un objeto, más energía necesita para aumentar su velocidad en una cantidad fija. Esto se vuelve importante cuando las velocidades son una fracción significativa de$c$. A velocidades mucho más bajas, el efecto se ignora con seguridad.