Dificultad para entender la prueba de Weinberg del teorema de Wigner

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Dificultad para entender la prueba de Weinberg del teorema de Wigner

Bob precio

Estoy trabajando en la demostración del teorema de Wigner en The Quantum Theory of Fields Volumen 1, Capítulo 2, Apéndice A de Weinberg, pero me encontré con un problema. En la nota al pie de la página 94 Weinberg dice

Si $A_m^{*}A_n$ es real, entonces elige todo $C$ es desaparecer a excepción de $C_k$ , $C_l$ , $C_m$ y $C_n$ , y elija estos cuatro coeficientes para que todos tengan diferentes fases.

Por el lenguaje que está usando en la nota al pie en su conjunto, interpretaría a Weinberg en el sentido de que si $A_k^*A_l$ es complejo y $A_m^*A_n$ es real entonces, simplemente eligiendo el $C$ como se especifica, la ecuación

\begin{matrix} (2.A.17) & \sum_{k yo} ℑ (C_{k}^{*} C_{yo}) ℑ (A_{k}^{*} A_{yo}) \neq 0 \end{matrix}

$\sum_{kl}\Im(C_k^*C_l)\Im(A_k^*A_l)\ne0\tag{2.A.17}$ será satisfecho automáticamente.

Pero seguro que eso no es cierto. si elijo

A_{k} = 1 + 3 i, A_{yo} = 5 + 7 i, A_{metro} = 9 + 11 i, A_{norte} = 9 + 11 i

$A_k = 1 + 3i,\ A_l = 5 + 7i,\ A_m = 9 + 11i,\ A_n = 9 + 11i$
y

C_{k} = 5 + 6 i, C_{yo} = 6 + 9 i, C_{metro} = 9 + 12 i, C_{norte} = 12 + 15 i

$C_k = 5 + 6i,\ C_l = 6 + 9i,\ C_m = 9 + 12i,\ C_n = 12 + 15i$ con todos los demás coeficientes de

A

$A$ y

C

$C$ siendo cero entonces las condiciones en

A

$A$ se cumplen y los cuatro coeficientes distintos de cero de

C

$C$ tienen diferentes fases pero la ecuación 2.A.17 no se cumple.

¿Qué me estoy perdiendo?

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LandauFan · Answer 1

Tiene razón en que la nota a pie de página de Weinberg no puede interpretarse en el sentido de que cualquier elección de $C$ 's que coincida con las condiciones citadas está garantizado para satisfacer la Ecuación (2.A.17): usted construyó un contraejemplo válido para esa lectura.

La nota al pie debe entenderse más bien como un breve esbozo de cómo un estado adecuado $\sum_k C_k\Psi_k$ se pueden encontrar, centrándose principalmente en el número de $C$ 's que no deben desaparecer y dejar partes de los detalles técnicos para el lector. Tal vez un poco más de contexto ayude a aclarar el significado pretendido: en la oración justo antes de la que citó, Weinberg afirma que

Si $A_m^*A_n$ es complejo, entonces elige todo $C$ es desaparecer aparte de $C_m$ y $C_n$ , y elija estos coeficientes para que tengan una fase diferente.

Si $A_m^*A_n$ es real, sin embargo, uno ya necesita cuatro coeficientes para que no desaparezcan para satisfacer las ecuaciones (2.A.17) y (2.A.18):

Si $A_m^*A_n$ es real, entonces elige todo $C$ es desaparecer a excepción de $C_k, C_l, C_m$ y $C_n$ , y elija estos cuatro coeficientes para que todos tengan diferentes fases.

De hecho, Weinberg omite los detalles restantes sobre cómo evitar casos no genéricos (como su contraejemplo) donde las ecuaciones (2.A.17) y/o (2.A.18) simplemente no se cumplen . Debido a la libertad de elegir las distintas fases y el valor absoluto de los cuatro coeficientes que no desaparecen, hay infinitas formas de evitar los casos no genéricos, por lo que probablemente Weinberg se abstuvo de dar una forma definitiva.

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LandauFan

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Mecánica cuántica; sakurai; Traducción infinitesimal