¿Qué son las simetrías de supertraducción BMS?

Las supertraducciones son solo traducciones de tiempo dependientes de la dirección en el límite de espaciotiempos asintóticamente planos . Específicamente, si el límite del "infinito futuro nulo" de tal espacio-tiempo se le da una coordenada de tiempo retardado$u$, entonces una supertraducción transforma esa coordenada de acuerdo a

$$\begin{equation} u \to u + \alpha(\theta, \phi), \end{equation}$$ dónde$\alpha$es cualquier función (diferenciable) de las coordenadas angulares$(\theta, \phi)$. La idea es bastante simple, aunque la explicación es un poco larga. Para simplificar, me limitaré al futuro en esta respuesta, pero todas las mismas ideas se aplican en el pasado infinito nulo si reemplaza el tiempo retardado$u$con tiempo avanzado$v$, y conos nulos dirigidos al futuro con conos nulos dirigidos al pasado.

En espaciotiempos asintóticamente planos, las supertraducciones son una de las simetrías asintóticas de la métrica. Ingenuamente, cabría esperar solo el grupo de Poincaré (rotaciones, impulsos, traslación de tiempo y traslación de espacio), ya que describe todas las simetrías del espacio-tiempo de Minkowski. Pero resulta que en el límite del espacio-tiempo asintóticamente plano, obtienes el grupo de Poincaré, pero también obtienes traducciones "generalizadas". Juntando todo eso, obtienes todo el grupo BMS. Las supertraducciones incluyen la traducción temporal simple y la traducción espacial, así como estas traducciones "generalizadas".

La primera exposición completa del grupo BMS fue realizada por Sachs en este documento , que vale la pena leer si desea comprender la historia de este grupo. Lo llamó el "grupo Bondi-Metzner generalizado", porque no sería apropiado insertar su propio nombre; otras personas hicieron eso por él más tarde, y ahora se llama el grupo Bondi-Metzner-Sachs.

Bien, ahora vamos con la explicación...

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Hay una interpretación bastante simple que le permite comprender las supertraducciones, comenzando con la traducción del tiempo, construyendo las traducciones del espacio y finalmente terminando en las supertraducciones generales. Creo que se da una muy buena explicación pedagógica de esto en la sección II.B de este artículo (aunque soy un poco parcial, porque yo escribí ese artículo). Para simplificar, solo hablaré del ejemplo más básico: el espacio de Minkowski. Pero cualquier espaciotiempo asintóticamente plano que discutamos se parece más o menos a Minkowski asintóticamente, y una clase aún más grande de espaciotiempos está lo suficientemente cerca como para que este ejemplo ayude a comprender.

Para empezar, tenemos que considerar todo el espacio-tiempo de Minkowski junto con sus límites asintóticos reales, lo que se hace con el espacio-tiempo "compactado". Básicamente, solo dibujamos un diagrama de Penrose , que cambia las coordenadas para que podamos dibujar puntos infinitamente distantes en un diagrama finito. La parte interesante de este diagrama para nuestros propósitos es el futuro infinito nulo,$\mathscr{I}^+$, que es el límite asintótico (futuro) de donde van las señales nulas en un espacio-tiempo asintóticamente plano. El espacio-tiempo de Minkowski es un buen modelo para explicar esto porque podemos construir coordenadas en$\mathscr{I}^+$disparando rayos de luz desde emisores inerciales dentro del espacio-tiempo. (Los espacio-tiempos más complicados pueden tener agujeros negros u otras complicaciones que harían imposible definir las coordenadas que cubren$\mathscr{I}^+$de esta manera, pero no cambie las características esenciales que nos importan: la estructura asintótica ).

Supongamos un observador inercial$\mathscr{A}$tiene las coordenadas esféricas usuales$(\theta, \phi)$, y tiene un reloj para su hora adecuada$\tau$. Ese observador dispara un rayo de luz en la dirección$(\theta, \phi)$en el momento$\tau$, y el rayo de luz eventualmente se acerca a algún punto en$\mathscr{I}^+$. Así que ahora, etiquetamos ese punto con las coordenadas angulares$(\theta, \phi)$y un tiempo retrasado$u = \tau$. Pero tal vez decidamos que el observador$\mathscr{A}$el reloj de estaba equivocado por una cierta cantidad$\delta \tau$. El rayo de luz que se emitió en$\tau$debería haber sido emitido en$\tau - \delta \tau$. He copiado la Figura 3 de mi artículo, que muestra exactamente esto, a continuación. Si hacemos este ajuste, todo lo que sucede con las coordenadas en$\mathscr{I}^+$es eso

$$\begin{equation} \tag{1} u \to u - \delta \tau. \end{equation}$$ Ese es el primer tipo de supertraducción: una traducción de tiempo simple . Y no debería sorprenderte que la métrica asintótica "on"$\mathscr{I}^+$no se ve alterada por la transformación de coordenadas causada por esta traslación de tiempo. Esta situación se ilustra en la figura 3 de mi artículo , que también se muestra a continuación.

Ahora supongamos que tenemos otro observador,$\mathscr{B}$, que es estacionario con respecto a$\mathscr{A}$, pero es desplazado por algunos$\delta \boldsymbol{x}$. Este observador también puede disparar rayos de luz y etiquetar$\mathscr{I}^+$. Pero como vemos en la figura 4 (abajo), los rayos de luz que$\mathscr{B}$sale disparado en dos direcciones opuestas alcanza puntos en$\mathscr{I}^+$eso$\mathscr{A}$solo podía llegar disparando fotones en diferentes momentos dependiendo de la dirección:$\mathscr{A}$tiene que disparar al que va a la izquierda mucho antes que al que va a la derecha. De hecho, si sus relojes están sincronizados y$\mathscr{B}$emitió ambos fotones en$\tau=0$, entonces no es difícil ver que$\mathscr{A}$tuvo que emitir a la izquierda en$\tau=-\lvert \delta \boldsymbol{x} \rvert$y a la derecha en$\tau=\lvert \delta \boldsymbol{x} \rvert$, para tener en cuenta los tiempos de propagación adicionales. Por supuesto, este diagrama está simplificado porque suprime dos dimensiones de nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Pero es fácil darse cuenta de que en cualquier dirección$\hat{\boldsymbol{r}}$, el tiempo retardado en$\mathscr{I}^+$se transforma por esta traducción espacial como

$$\begin{equation} \tag{2} u \to u + \delta \boldsymbol{x} \cdot \hat{\boldsymbol{r}}. \end{equation}$$ Ese es el segundo tipo de supertraducción: una traducción espacial simple . Y de nuevo, no debería sorprenderte que la métrica asintótica "on"$\mathscr{I}^+$no se ve alterada por la transformación de coordenadas provocada por esta traslación espacial, ya que la métrica de Minkowski no se ve alterada por ella.

Puede observar que en términos del índice armónico esférico habitual$\ell$, la transformación (1) anterior es una$\ell=0$función de coordenadas en la esfera (independiente de la dirección), mientras que la transformación (2) es una$\ell=1$función. Es decir, si pensamos en ellos como expandidos en armónicos esféricos$Y_{\ell, m}$, entonces podemos escribir esas transformaciones como

$$\begin{gather} \tag{1'} u \to u + \alpha^{0,0}Y_{0,0}(\theta, \phi), \\ \tag{2'} u \to u + \sum_{m=-1}^{1} \alpha^{1,m}Y_{1,m}(\theta, \phi), \end{gather}$$ donde solo tenemos una condición simple en$\alpha^{0,0}$y el$\alpha^{1, m}$para asegurarse de que el resultado es puramente real. Es natural preguntarse cómo sería una transformación general $$\begin{gather} \tag{3} u \to u + \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^{\ell} \alpha^{\ell,m} Y_{\ell,m}(\theta, \phi) \end{gather}$$ Significaría. (De nuevo, suponiendo que$\alpha^{\ell,m}$obedecer la condición de realidad.) Esto es lo que queremos decir con una supertraducción general .

Esta generalización es interesante, pero en realidad no significaría mucho a menos que tuviéramos algún hecho físicamente relevante al respecto. Resulta que una supertraducción es también una simetría de la métrica asintótica . Obviamente, generalmente no es una simetría de la métrica en el interior del espacio-tiempo, pero algo importante sucede una vez que llegamos al límite.$\mathscr{I}^+$.

Hay una explicación intuitiva bastante simple de por qué las supertraducciones son relevantes asintóticamente. En términos muy generales, los puntos "vecinos" en$\mathscr{I}^+$con infinitesimalmente diferente$(\theta, \phi)$las coordenadas están en realidad infinitamente "lejos" en el espacio. Más precisamente, están causalmente desconectados (los rayos de luz de uno no pueden alcanzar al otro), por lo que no hay forma de que podamos sincronizar sus relojes, lo que significa que podemos agregar un desplazamiento de tiempo arbitrario a los relojes en cada uno.$(\theta, \phi)$dirección, que es exactamente lo que describe esta ecuación. De hecho, para cualquier punto de$\mathscr{I}^+$con un dado$(\theta, \phi)$, los únicos otros puntos en$\mathscr{I}^+$que está conectado causalmente son puntos con el mismo$(\theta, \phi)$coordenadas, pero tal vez diferentes$u$coordenadas Así que esto explica todas las supertraducciones excepto la$\ell=0$compensación de tiempo, pero eso solo se explica por el hecho de que no hay una forma físicamente significativa de configurar el reloj de cualquier observador; el origen de coordenadas es arbitrario.

Ahora, todo esto es más fácil de entender en el espacio de Minkowski usando las bonitas y sencillas imágenes que he mostrado. Pero es importante recordar que la planitud asintótica es una idea mucho más amplia que solo Minkowski, e incluye sistemas con geometrías internas mucho más complicadas y seriamente no planas, así como espacios-tiempos que pueden no ser lo suficientemente completos para dibujar un diamante de Penrose completo como yo. he mostrado. Aún así, las simetrías BMS aparecen cada vez que el comportamiento asintótico es razonable y plano en el futuro cercano al infinito nulo. Específicamente, al menos una parte del límite$\mathscr{I}^+$todavía existe, y cerca de ese límite, el otro espacio-tiempo "parece" el mismo límite del espacio-tiempo de Minkowski, por lo que se aplican las mismas reglas básicas.

Utilizo la referencia A. Strominger y A. Zhiboedov, "Gravitational Memory, BMS Supertranslations and Soft Theorems", en su mayor parte aquí. La simetría BMS implica el movimiento de cargas de prueba debido a la radiación gravitatoria de una fuente gravitatoria perturbada o un agujero negro. La memoria gravitacional se debe a que las posiciones finales de las masas no son necesariamente las mismas que sus posiciones iniciales. Este es entonces un conjunto de traslaciones que llevan información sobre la radiación gravitacional.

Para empezar la métrica de Bondi es

$$ds^2~=~-du^2~-~2dudr~+~2\gamma_{z\bar z}r^2dzd\bar z,$$ que es solo la métrica de Minkowski para dos esferas con el $z,~\bar z$coordenadas El término $m_B$es el término de masa, y la masa es la llamada masa de Bondi y fuente de energía de masa que se propaga a ${\cal I}^+$, donde la coordenada $u$se define. Los términos $C_{zz}$y $C_{\bar z\bar z}$determinar los términos de la curvatura de Weyl para la propagación de ondas gravitacionales. Una ecuación de campo de Einstein es $$D_{\bar z}^2C_{zz}~-~D_z^2C_{\bar z\bar z}~=~0,$$ que da la solución simple $C_{zz}~=~-2D_z^2C(z,~\bar z)$. Aquí $C(z,~\bar z)$es un potencial escalar. El cambio en este potencial es un cambio en la curvatura de Weyl con el paso de una onda gravitatoria. \vskip.1in La curvatura tiene dos partes. Los términos fuente definen la masa de Bondi y la tasa de cambio en el tiempo, o el parámetro $u$en ${\cal I}^+$es $$\frac{\partial m_B}{\partial u}~=~\frac{1}{4}(D_zD_zN^{zz}~+~cc)~-~\frac{1}{4}N_{zz}N^{zz}~+~4\pi GT_{uu}(matter)|_{r~\rightarrow~\infty},$$ dónde $N_{zz}~=~\partial_uC_{zz}$es la noticia de Bondi. El término $\frac{1}{4}N_{zz}N^{zz}$es el flujo de radiación gravitacional. El espacio-tiempo estacionario tiene $M,~Q,~J$como Noether cargos o cantidades conservadas. Tenemos con ese sistema un único conjunto de simetrías locales. Estas son las simetrías de Lorentz o Poincaré en una superficie espacial, que se define en $i_0$ya que todas las superficies espaciales contactan allí. Sin embargo, sabemos que se trata de una idealización de los eternos agujeros negros. La emisión de radiación gravitatoria o la variación temporal de la masa, o masa de Bondi, es una firma de que algo es más general. \vskip.1in Las traducciones en las variables $u,~r,~z.~\bar z$, son $$u~\rightarrow~u~+~f(z,~\bar z)$$ $$\begin{equation} r~\rightarrow~r~-~D^zD_zf(z,~\bar z) \end{equation}$$ $$z~\rightarrow~z~+~\frac{1}{r}D^zf(z,~\bar z),$$ para una función $f(z,~\bar z)$, y la traducción de $\bar z$evidente. Se puede ver fácilmente que una supertraducción infinitesimal general es a partir de estos $$\xi~=~f(z,~\bar z)\frac{\partial}{\partial u}~+~D^zD_zf(z,~\bar z)\frac{\partial}{\partial r}~-~ \frac{1}{r}\left(D^z f(z,~\bar z)\frac{\partial}{\partial z}~+~c.c.\right).$$ Entonces podemos calcular la derivada de Lie de la masa de Bondi y la curvatura de Weyl y la masa de Bondi $${\cal L}_\xi m~=~f(z,~\bar z)\frac{\partial m}{\partial u,},$$ dónde $\partial m/\partial u$dado anteriormente, y la curvatura de Weyl $${\cal L}_\xi C_{zz}~=~f(z,~\bar z)N_{zz}~-~2D_z^2f(z,~\bar z).$$ Las supertraducciones son aditivas, donde para $\xi$y $\xi'$tenemos propiedades aditivas $\xi''~=~\xi~+~\xi'$, y estos son generadores de un grupo con $g~=~e^{p^a\xi_a}$con el índice sumado $u,~r,~z,~\bar z$. Claramente para $g'~=~e^{p^a\xi'_a}$tenemos eso $gg'~=~g'g$de la naturaleza aditiva de los vectores de supertraducción y que los elementos métricos son conmutativos. Este es entonces un grupo abeliano de dimensión infinita.

Las simetrías BMS son entonces un producto semidirecto de las simetrías de Poincaré$P~=~SO(3,1)\rtimes {\cal A}$con este grupo de simetrías abelianas$\cal A$. El siguiente diagrama ilustra estos en un espacio-tiempo conforme

Aquí las simetrías de Poincaré están en$i^0$, y las simetrías BMS se manifiestan en${\cal I}^+$.

Ahora mire la métrica cerca del horizonte de eventos, donde en lugar de la variable de tiempo$u$a lo largo de${\cal I}^+$tenemos$v$a lo largo del horizonte con

$$ds^2~=~-\Phi dv^2 - e^{2\beta}dvdr~+~g_{AB}(dx^A~+~X^Adv)(dx^B~+~X^Bdv),$$ dónde $\phi$es un potencial y $(\Phi,~\beta,~g,~X)$son funciones arbitrarias lo que significa que por sí mismas no contienen simetrías particulares. la coordenada $v$es normal para $u$a lo largo del horizonte y por lo tanto términos métricos con $dv$son cero en el horizonte. Cerca del horizonte, las traducciones de BMS son $$\xi~=~f(z,~\bar z)\frac{\partial}{\partial v}~+~\left(\int dr~-~X^A\partial_Af\right)\frac{\partial}{\partial r}~+~\left(\int dx~-~g^{AB}\partial_Af\right)\frac{\partial}{\partial X^B},$$ donde los límites de la integral son desde el horizonte $r_h$a $r$o $r~\rightarrow~\infty$en ${\cal I}^+$. Esta es la descripción de campo cercano que comparte la misma información que la traducción anterior para la información enviada a ${\cal I}^+$.

La correspondencia entre los dos significa que hay información o datos asociados con el horizonte de eventos, o justo por encima del horizonte, que está codificado en${\cal I}^+$. Este es el pelo suave. Esto tiene relación con los grupos de cocientes. La simetría de Poincaré es$P~=~BMS/\cal A$, y desde$\cal A$es un grupo abeliano que comparte algunas similitudes notables con la física del efecto Hall o el efecto Hall cuántico fraccional con cociente$[SU(2)\times SU(1,1)]/U(1)$. Este cabello suave es entonces una forma de carga o carga BPS asociada con el horizonte de eventos, que tiene una física notablemente similar al efecto Hall cuántico y para asomar el cuello incluiré estados topológicos protegidos por simetría.