Conservación de Restricciones Matemáticas al derivar Energía y Momento de F=maF=maF=ma

Question

Conservación de Restricciones Matemáticas al derivar Energía y Momento de F=maF=maF=ma

Física
impulso
grados de libertad
conservación de energía
mecanica-newtoniana
ecuaciones diferenciales

usuario1476176

Fondo:

Empezando desde $F = ma$ , integrando con respecto al tiempo, y usando cálculo básico, se puede derivar $\int Fdt = m (v_f - v_i)$
Empezando desde $F = ma$ , integrando con respecto a la distancia, y sustituyendo $a\ ds = v\ dv$ (del cálculo), se puede derivar $\int Fdx = KE_f - KE_i$

(Obviamente me preocupan estos resultados porque, cuando se combinan con $F_{ab} = -F_{ba}$ , dan la conservación de la cantidad de movimiento y un punto de partida para la conservación de la energía, pero para esta pregunta no voy a considerar esta parte de la derivación).

En 1-D, los dos resultados con viñetas tienen sentido para mí: el punto de partida es una EDO de segundo orden y los dos resultados forman un sistema acoplado de dos EDO de primer orden. Esto es precisamente lo que las matemáticas dicen que debería ser posible: se ha conservado el número de restricciones matemáticas.

Pregunta:

Una derivación similar (ligeramente más complicada) es posible en 3 dimensiones, pero es más difícil para mí clasificar las restricciones matemáticas resultantes y asegurarme de que la transformación no agrega ni elimina restricciones:

Punto de partida: $\vec{F}=m\ddot{\vec{s}}\ \rightarrow$ 3 ODES acopladas de segundo orden
Resultado 1: $\int \vec{F}dt = m(\dot{\vec{s}_f} -\dot{\vec{s}_i})\ \rightarrow$ 3 ODE acopladas de primer orden (considerando el estado inicial como una condición límite)
Resultado 2:No estoy seguro de cómo clasificar esto
- Reescribiendo esto como $\int \vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{s} = \frac{1}{2}m(\dot{x}_f^2 +\dot{y}_f^2 +\dot{z}_f^2 ) - KE_i$ deja más claro que se trata de una única EDO no lineal con las primeras derivadas de 3 variables dependientes diferentes.

Math dice que un sistema de 3 ODE acopladas de segundo orden se puede reescribir como un sistema de 6 ODE acopladas de primer orden, pero obviamente solo tengo 4 ecuaciones. ¿Qué tipo de ODE es el Resultado 2? ¿Una sola ODE de primer orden? ¿Una EDO de primer orden 'triple' con 3 variables dependientes?

En última instancia, busco asegurarme de que el problema de viajar al trabajo 'resuelve $F=ma$ ' al problema 'resolver la conservación del impulso y la conservación de la energía' no agrega ni elimina restricciones matemáticas. Si alguien puede referirme a un libro de texto que aborde esta idea, también lo agradecería.

Editar:

Pensándolo bien, creo que he cometido un error. $F=ma$ es una ecuación diferencial con el tiempo como variable independiente, por lo que la integración con respecto al tiempo (como es necesario para derivar la conservación del momento) cambia el orden, y ya no es razonable esperar dos ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas como resultado . De hecho, podríamos integrar Conservación de Momentum wrt $t$ de nuevo, y entonces ya no tendríamos una ecuación diferencial en absoluto.

Dado que la integración es una técnica válida para resolver ecuaciones diferenciales, ahora parece como si la conservación de la cantidad de movimiento pudiera verse como una [/la] solución para $F=ma$ , y por lo tanto se podría esperar que describa toda la información que está presente en el ODE original.

Eso haría que el $F=ma$ -a-la derivación de conservación de cantidad de movimiento lógica (desde una perspectiva de conservación de restricciones) tanto en 1-D como en 3-D, y luego hacer la pregunta real '¿De dónde proviene la conservación de energía, desde una perspectiva de restricciones?'
Por otro lado, el problema de colisión elástica 1-D no se puede resolver solo con la conservación del momento; también se requiere la conservación de la energía. Dado que la conservación de la energía se puede derivar de $F=ma$ y cálculo solo, debe estar representando una restricción que está en la ecuación original. De este modo $F=ma$ contiene más información que la conservación de la cantidad de movimiento.

Otras cosas en las que he estado pensando:

Esta pregunta en realidad puede estar relacionada con las ecuaciones integro-diferenciales, de las que no sé nada.
Puede haber algunas sutilezas relacionadas con $F$ que me falta, y escribirlo como $\vec{F}$ en vez de $\vec{F}(\vec{s},\dot{\vec{s}},t)$ puede estar barriéndolos debajo de la alfombra.

david z

Buena pregunta. Creo que la esencia es que las restricciones que faltan en 3D se convierten en la conservación del momento angular, pero otros aquí ciertamente están mejor calificados que yo para demostrar eso (si no me equivoco), así que dejaré que alguien más escriba. una respuesta.

usuario1476176

¡Esa sería una resolución muy elegante! Sin embargo, creo que conduciría a restricciones de 'doble conteo'. Supongamos que mi partícula acelera en un círculo... ¿es porque la fuerza es tangente al círculo en cada punto, o porque hay un momento de torsión? Creo que la respuesta es 'cualquiera', porque las condiciones son redundantes.

david z

Sí, ese fue mi pensamiento también. Después de todo, al menos en la mecánica clásica, todo el formalismo de la dinámica rotacional (momento angular, torque, etc.) es una forma de eliminar grados de libertad con comportamiento trivial de ciertos tipos de sistemas, a saber, aquellos que exhiben un movimiento rotacional puro.

Respuestas (5)

Conservación de Restricciones Matemáticas al derivar Energía y Momento de F=maF=maF=ma

Buena pregunta. Creo que la esencia es que las restricciones que faltan en 3D se convierten en la conservación del momento angular, pero otros aquí ciertamente están mejor calificados que yo para demostrar eso (si no me equivoco), así que dejaré que alguien más escriba. una respuesta.
¡Esa sería una resolución muy elegante! Sin embargo, creo que conduciría a restricciones de 'doble conteo'. Supongamos que mi partícula acelera en un círculo... ¿es porque la fuerza es tangente al círculo en cada punto, o porque hay un momento de torsión? Creo que la respuesta es 'cualquiera', porque las condiciones son redundantes.
Sí, ese fue mi pensamiento también. Después de todo, al menos en la mecánica clásica, todo el formalismo de la dinámica rotacional (momento angular, torque, etc.) es una forma de eliminar grados de libertad con comportamiento trivial de ciertos tipos de sistemas, a saber, aquellos que exhiben un movimiento rotacional puro.

usuario121330 · Answer 1

En teoría, las imágenes Momentum , Force y Energy pueden contener cada una la misma cantidad de información. En la práctica, las restricciones dadas y las herramientas matemáticas disponibles determinan qué imagen(es) usar.

Para 'derivar' Energía de $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$ , nos integramos a lo largo del camino $\cdot d\mathbf{s}$ lo que significa que la energía es una ecuación escalar (multivariable, no lineal , diferencial) con potencialmente muchas incógnitas y unidades de $ml^2/t^2$ dónde ' $m$ ' es masa, ' $l$ ' es la longitud, y ' $t$ ' es hora. Si no puede integrar las fuerzas, o si la fuerza no es conservativa y no puede integrar la trayectoria, la ecuación sigue siendo integro-diferencial. Recuperaríamos las 'restricciones faltantes' que resultan del producto escalar con ecuaciones vectoriales para la imagen de Energía.

Como has adivinado correctamente, Energía admite un sistema de 6 ecuaciones donde 3 momentos cada uno obtiene una ecuación independiente y una operación sobre una cantidad de Energía. Las formulaciones lagrangiana y hamiltoniana , que están relacionadas por la transformación de Legendre , son suficientes (consulte las derivaciones hacia atrás y hacia adelante de Fuerzas). Cada uno de ellos requiere conocimientos de cantidad de movimiento, energía y matemáticas más complicadas. La fuerza, la energía y el momento resuelven la mayoría de los problemas newtonianos con mayor rapidez (contraejemplos: fuerzas sobre objetos restringidos y momentos canónicos), pero las ecuaciones vectoriales tienen más valor teórico y aplicación a otras ciencias físicas.

Emmy Noether , por ejemplo, formalizó la relación entre cantidades conservadas y simetrías físicas utilizando la imagen de Lagrange. Demostró que la conservación de la cantidad de movimiento, la energía y la cantidad de movimiento angular son el resultado de que las leyes físicas sean constantes en el espacio, el tiempo y la orientación, respectivamente.

Algunas de las respuestas/discusiones afirman que las restricciones que faltan pueden recuperarse con la versión angular de cada una de estas imágenes. Esa opinión es evidentemente falsa. podemos derivar $\mathbf T = \mathbf I \ddot{\boldsymbol \theta}$ tomando $\mathbf r \times \left(\mathbf F = m \mathbf a \right)$ lo que significa que los pares son una consecuencia de las fuerzas. cuando tomamos $\left( \mathbf T = \mathbf I \ddot{\boldsymbol \theta} \right) \cdot d\boldsymbol \theta$ , recuperamos la Energía Angular escalar por lo que la rotación sufre la misma limitación (de la que también se recupera con las formulaciones hamiltoniana y lagrangiana).

Usé Thornton y Marion para mecánica intermedia y fue genial.

steveow · Answer 2

(No es una respuesta como tal, sino más bien un comentario y una sugerencia ampliados).

Usted escribió: "Por otro lado, el problema de la colisión elástica 1-D no se puede resolver solo con la conservación del momento; también se requiere la conservación de la energía".

En realidad, el problema de colisión elástica 1D se puede resolver con (i) Conservación del momento (COM) (ii) aplicación de simetría (iii) aplicación de la relatividad galileana donde (ii) y (iii) reemplazan COKE (Conservación de energía cinética).

Por lo tanto: establezca su problema 1D en el marco de inercia original y luego cambie las velocidades al marco de momento neto cero, conservando la masa. Entonces, las velocidades "después de la colisión" están simplemente dadas por el inverso de las velocidades "antes de la colisión". Luego regrese al marco original para encontrar las velocidades "después de la colisión" en ese marco.

Quizás esto no te ayude porque parece que he reemplazado una restricción (COKE) con dos nuevas restricciones (simetría, relatividad galileana) pero quizás esos ya sean "axiomas ocultos" en tu modelo original.

Además, cualquier colisión elástica 3D simple (por ejemplo, entre 2 esferas) puede considerarse una colisión 1D a lo largo de la línea (eje) que conecta los dos centros. Entonces puedes aplicar la regla.

d V 1 = + / - 2. METRO C V . metro 2 / (metro 1 + metro 2)

$dV1 = +/-2.MCV.m2/(m1+m2)$ donde m1,m2 son las masas de las esferas y MCV es la velocidad de cierre mutuo y dV1 es el cambio en el componente de velocidad a lo largo del eje de la esfera1 a lo largo de la colisión. Con esta regla no necesitas COM ni COKE.

Su pregunta tentativa "¿De dónde viene la conservación de la energía, desde la perspectiva de las restricciones?".

No estoy seguro acerca de la "perspectiva de las restricciones", pero COKE puede derivarse de los principios (i), (ii) y (iii). Tengo una derivación en alguna parte. los

V^{2}

$V^2$ término en COKE viene de pitágoras

(d V metro a {gramo}^{2} = d V X^{2} + d V y^{2} + d V z^{2})

$(dVmag^2 = dVx^2 + dVy^2 + dVz^2)$ COKE es una regla útil, pero COM, simetría y galrel son, en mi opinión, más "primitivos".

Vacío · Answer 3

Interpreto tu pregunta como

¿Qué tipo de ecuación es la ecuación?
$\int_{t_{0}}^{t} \vec{F} (\vec{X} (t^{'})) \cdot d \vec{X} (t^{'}) = \frac{1}{2} metro ((\dot{\vec{X}} (t))^{2} - ({\dot{\vec{X}}}_{0})^{2}) (1)$ $\int_{t_0}^{t} \vec{F}(\vec{x}(t')) \cdot d\vec{x}(t') = \frac{1}{2} m ((\dot{\vec x}(t))^2 - (\dot{\vec x}_{0})^2) \; \; \;\; (1)$ dónde $t$ es variable y $\dot{\vec x}_{0}$ ¿fijado?

La respuesta es que es una ecuación integro-diferencial de primer orden , no una mera ecuación diferencial ordinaria (EDO). Lo mismo es cierto para

\int_{t_{0}}^{t} \vec{F} (\vec{X} (t^{'})) d t^{'} = metro (\dot{\vec{X}} (t) - {\dot{\vec{X}}}_{0}) (2)

$\int_{t_0}^{t} \vec{F}(\vec{x}(t')) dt' = m (\dot{\vec x}(t) - \dot{\vec x}_{0}) \; \; \;\; (2)$

Es decir, ninguno de los indicados son ODE. Sin embargo, la ecuación (1) no es equivalente a las ecuaciones de Newton. Solo el conjunto completo de las tres ecuaciones (2) es equivalente a

\vec{F} = metro \ddot{\vec{X}}, \dot{\vec{X}} (t_{0}) = {\dot{\vec{X}}}_{0} (3)

$\vec{F}=m\ddot{\vec x}, \, \dot{\vec x}(t_0)=\dot{\vec x}_{0} \;\;\;\; (3)$ Puedes obtener (3) de (2) por una derivada con respecto al tiempo

t

$t$ . Obtener un conjunto de 6 EDO de primer orden es mucho más fácil de lo que imaginas:

\vec{F} = metro \dot{\vec{v}}, \dot{\vec{X}} = \vec{v}

$\vec{F}=m\dot{\vec v},\, \dot{\vec{x}}=\vec v$ Dónde

\vec{v} (t)

$\vec{v}(t)$ y

\vec{x} (t)

$\vec{x}(t)$ se tratan como funciones independientes. Exactamente este tipo de procedimiento se refiere a las declaraciones que ha mencionado.

Tenga en cuenta que ninguno de (1,2,3) son leyes de conservación per se . Para una partícula en un potencial, el impulso no se conserva. La ecuación (1) te dice que la energía cinética cambia ; de lo contrario, tu lado derecho sería cero. La ecuación (2) no te dice que la cantidad de movimiento se conserva por la misma razón. Los enunciados son simplemente leyes o "equilibrios" como tú dices.

Las leyes de conservación surgen solo para sistemas con propiedades particulares como las simetrías.

La solución de las ecuaciones de Newton (3) se puede equiparar a encontrar integrales de movimiento solo en casos especiales. Generalmente necesitas $N$ integrales de movimiento para un sistema con $N$ grados de libertad para ser integrable en Liouville (por ejemplo, una partícula que se mueve en 3D sin restricciones tiene 3 grados de libertad). Esto significa que, en tal caso, las ecuaciones se pueden reorganizar en cuadraturas (la relación entre posiciones y tiempo se puede expresar explícitamente con expresiones integrales involucradas). Pero en tal proceso en realidad usas las ecuaciones de Newton.

El único escape parcial es cuando encuentras más de $N$ Integrales de movimiento para un $N$ Sistema de grados de libertad. Ese es el caso del movimiento en el potencial gravitatorio de Newton. Tienes una partícula en 3D, pero tenemos 4 integrales de movimiento ocultas en energía conservada, momento angular conservado y el vector de Laplace-Runge-Lenz . Simplemente requiriendo que estos sean constantes, obtienes la forma única de la órbita. Pero para resolver la evolución del tiempo, tienes que volver a las ecuaciones de Newton.

Sin embargo, no todos los sistemas tienen tal número de integrales de movimiento. A veces, las integrales simplemente no existen y el movimiento se vuelve caótico .

Un gran libro para obtener una mejor comprensión de la mecánica clásica es Goldstein Classical Mechanics o Arnold Mathematical Methods of Classical Mechanics , más matemático .

usuario1476176 · Answer 4

Introducción

Soy el autor original de esta pregunta (hace 9 meses); gracias a los comentarios y las respuestas que he recibido aquí, creo que he reunido una respuesta con la que estoy contento.

Formas cortas utilizadas en esta respuesta:

CoLM = Conservación del Momento Lineal
CoAM = Conservación del Momento Angular
KEB = el balance de energía cinética
CoE = Conservación de la Energía

Responder

La ecuación derivada en la pregunta es en realidad KEB. KEB no proporciona tanta información como CoLM, pero debido a las simetrías de algunos problemas, los resultados específicos son más fáciles de extraer usando KEB. Sin embargo, el CoE completo es una ecuación diferente e incorpora nueva información: explica el hecho de que el trabajo, el calor y la energía interna pueden interconvertirse, conectando el problema del movimiento con la energía interna y la transferencia de calor. Si se conocen todas las leyes de fuerza, entonces CoLM es todo lo que se requiere para determinar el movimiento, pero CoE proporciona información sobre las fuentes/sumideros en el calor y la energía interna, información que no se puede extraer de CoLM.

Para abordar algunos de los problemas específicos planteados en la pregunta:

CoLM contiene exactamente tanta información como F = ma
KEB no es una restricción nueva; es un poco redundante en CoLM (en el sentido de que los dos nunca pueden ser incompatibles), pero [en dos o más dimensiones] contiene menos información que CoLM y, por lo tanto, no se puede usar en su lugar. En muchos casos, las simetrías del problema son tales que solo KEB puede usarse para extraer resultados útiles. En esos casos, la información descartada (que estaba en CoLM pero no está en KEB) pertenece a aspectos del problema que no son de interés físico.
CoE no es redundante en CoLM; se ha introducido una nueva restricción, pero también nuevas variables (transferencia de calor y cambios en la energía interna)
El problema de la colisión elástica 1-D en realidad une todo bastante bien. En primer lugar, al resolver con CoLM, agregar KEB en realidad no impone nuevas restricciones; como lo menciona steveOw, la nueva información proviene de la suposición de que la energía cinética perdida durante la etapa de compresión de la colisión es igual a la energía cinética ganada durante la etapa de extensión de la colisión, es decir, que la pérdida de calor/energía interna es cero, o de manera equivalente, la fuerza a un nivel de compresión dado es la misma durante la compresión y la extensión. Esta suposición se aplica en KEB al establecer el término fuente/sumidero en cero, pero también podría haberse sustituido en CoLM (sin KEB) para obtener el mismo resultado (aunque la integración requerida esencialmente volvería a derivar KEB).

En segundo lugar, este es un ejemplo de cómo KEB puede aprovechar las simetrías del problema para facilitar la extracción de resultados específicos. La simetría aquí es el hecho de que la fuerza en cualquier punto durante la compresión es la misma que la fuerza en el mismo punto durante la expansión. Según KEB, la ley de fuerza total es en realidad algo irrelevante siempre que respete esta simetría; al menos, no afecta las velocidades finales. Sin embargo, se requeriría una ley de plena vigencia para generar un resultado completo; conocemos las velocidades de los dos objetos, pero no sabemos cuánto tiempo pasaron interactuando, por lo que no sabemos cuál fue el punto de partida para las rutas posteriores a la interacción y, por lo tanto, no sabemos la posición de ninguno de los objetos. Una solución completa requeriría una ley de fuerza completa (y también podría admitir una ley de fuerza sin la simetría de compresión/expansión),

Extra Tangencial: CoLM y CoAM

Un tema relacionado, que se mencionó en los comentarios de David Z, es la redundancia de CoLM y CoAM, y cómo esto se conecta con la idea de "conservación de restricciones" de esta pregunta. CoLM y CoAM son un poco redundantes, pero no, dependiendo de si tomas la perspectiva de la vida real (que no puedes tener una fuerza o un momento que actúe en un punto) o la perspectiva simplificada (que las cargas distribuidas pueden ser simplificado como fuerza puntual resultante y momento puntual resultante). En la perspectiva de la vida real, existe una correspondencia uno a uno entre fuerzas y momentos (cada momento es el resultado de una fuerza y un brazo de momento) y CoLM y CoAM son redundantes. La mecánica continua toma la perspectiva de la vida real (todas las fuerzas se resuelven como tensiones, sin fuerzas puntuales ni momentos), y así, en mecánica continua, solo se resuelve CoLM (CoAM no proporcionaría información adicional). En la perspectiva simplificada, se pierde la correspondencia fuerza-momento uno a uno (hay momentos puntuales que no tienen una fuerza y un brazo de momento asociados) y CoLM y CoAM se convierten en condiciones distintas. La estática generalmente implica la perspectiva simplificada, por lo que en estática CoLM y CoAM (o, como se aplican con mayor frecuencia, Fnet = 0 y Tau_net = 0) son condiciones distintas.

Cada formulación de la mecánica hace una suposición tácita sobre las condiciones de la interacción. La imagen del momento (lineal/angular) asume que (las leyes físicas son invariantes en el espacio) no hay fuerzas externas (torques) que actúen sobre los cuerpos involucrados. La imagen de la energía asume que (las leyes físicas son invariantes en el tiempo) el sistema en cuestión representa toda la energía. Si ambos son ciertos, en realidad tenemos 7 (13!?!) ecuaciones disponibles para usar.
Dudaría en hacer una distinción entre la conservación de la energía y cualquier tipo de 'equilibrio' de energía cinética porque las energías de rotación y vibración también son cinéticas.
Por último, cualquier fuerza del cuerpo puede aplicar un par. Por ejemplo, un lado de la luna es más masivo y apunta a la Tierra a través del bloqueo de marea .
Re comentario 2: no creo que la energía de rotación rompa el KEB, siempre y cuando consideres que el KE de un cuerpo sólido es \int \rho v^2/2 dV. Esto daría el mismo resultado que KE_{rot} = 1/2 I \omega^2 para la rotación de un cuerpo sólido. La vibración también está bien: la vibración macroscópica es una conversión cíclica de energía cinética hacia y desde energía potencial, y la vibración microscópica se considera parte de la energía interna.
Re comentario 3: Usé la frase incorrecta; por body torques'' I meant torques puntuales.'' Lo corregí arriba
Una búsqueda en Google de balance de energía cinética no arroja mucho. Para ser claros, es una distinción que eliges hacer y no intrínseca o intuitiva a la teoría. Un desafío específico sería dos objetos que no giran chocando y girando después de la colisión. Los términos rotacionales aparecen solo en el estado final. Esto puede explicarse absolutamente, pero también los potenciales gravitatorios y electromagnéticos que nos devuelven a la conservación de la energía.
Re: momentos de torsión puntuales, las fuerzas del cuerpo se pueden modelar como fuerzas puntuales a través de la masa central. En la medida en que hay fuerzas puntuales (hay un gran caso de que no las hay), hay pares de puntos equivalentes. Además, podemos aplicar torques a iones individuales e incluso a fotones. Además, no estoy seguro de cómo hacer estática en la imagen de impulso sin integrar de nuevo a las fuerzas. En su mayoría, no está claro a qué se refiere con respecto a la redundancia y muchos de los argumentos de apoyo son cuestionables. Con toda la ambigüedad semántica, editaría esa sección.
Re KEB, sí, es solo un nombre que inventé. La justificación es (1) necesita un nombre porque es el tema de la pregunta (2) ese nombre no puede ser CoE, porque CoE es una ecuación diferente (3) el nombre debe incluir KE, porque lo que está en la RHS es KE (3) el nombre no debe incluir "conservación", porque la KE total del universo no se conserva.
Vuelva a señalar los torques, no quiero eliminar la última sección, pero la reescribí para incorporar algunos de los puntos que planteó. Gracias.

BMS · Answer 5

BMS

Se pueden considerar las cantidades

$\int F_x\,dx=\int m\ddot{x}\,dx=\frac{1}{2}m(\dot{x}_f^2-\dot{x}_i^2)$
los $y$ versión de arriba
los $z$ versión de arriba

¿Son estos lo que buscas? Estas tres cantidades generalmente no se consideran en problemas estándar, pero me parecen válidas. Su "Resultado 2" es la suma de las tres ecuaciones con viñetas aquí.

usuario1476176

Yo también pensé de esta manera al principio. Sin embargo, no creo que esas sean integrales apropiadas para realizar por sí solas. El resultado 2 proviene de tomar la integral de línea a lo largo de la ruta específica que toma el objeto de A a B. Tu resultado proviene de integrar a lo largo de un eje a la vez, lo que representa físicamente mover el objeto a lo largo de un solo eje a la vez. Esto solo coincidirá con el camino que el objeto realmente toma si las fuerzas laterales son cero en todas partes, lo que no ocurre en general.

david z

Sí, BMS, también consideré esta línea de pensamiento, pero llegué a la misma objeción que hizo el usuario 1476176.

BMS

No creo que corresponda necesariamente al movimiento en una sola dimensión a la vez. por camino

C

$C$ ,

\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{s} = \int_{C} F_{x} d x + \int_{C} F_{y} d y + \int_{C} F_{z} d z

$\int_C \vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_C F_x\,dx + \int_C F_y\,dy +\int_C F_z\,dz$ , que es como se suelen realizar las integrales de línea. Luego, considere uno de los términos a la vez.

usuario1476176

Cuando igualas la integral de línea que has escrito con el cambio en la energía cinética, el resultado es una ecuación escalar. No puede dividirlo en componentes porque las contribuciones de las tres dimensiones están todas en la misma base (a diferencia de una ecuación vectorial donde son linealmente independientes y puede separarlos en componentes)

BMS

Acepto que no se puede extraer automáticamente la información de los componentes de

\int_{C} \vec{F} \cdot d \vec{s} = Δ K

$\int_C \vec{F}\cdot\,d\vec{s}=\Delta K$ y por el motivo que especifique. Sin embargo, parece válido escribir

\int \vec{F} \cdot d \vec{s} = \sum_{i} \int F_{i} d s_{i}

$\int \vec{F}\cdot\,d\vec{s}=\sum_i\int F_i\,ds_i$ . Después de escribir esto, ¿se puede considerar por separado a qué se evaluará matemáticamente cada uno de los tres términos?

usuario1476176

Tal vez estoy interpretando mal tu publicación, pero pareces estar argumentando que el hecho de que

\int \vec{F} \cdot d \vec{s} = \sum_{i} \int F_{i} d s_{i}

$\int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \sum_i \int F_i ds_i$ significa que cada

\int F_{i} d s_{i}

$\int F_i ds_i$ representa algo físicamente significativo, y por lo tanto podemos integrar

F = m a

$F=ma$ a lo largo de cada eje a su vez y recuperar las 3 ecuaciones que propuso originalmente sin tener que romper

W = Δ K

$W = \Delta K$ en componentes. ¿Es eso correcto?

BMS

No estoy argumentando que cada término deba ser físicamente significativo. En cambio, solo estoy considerando a qué se evalúa matemáticamente cada término. Entonces, sí, uno obtiene esas tres ecuaciones, a menos que haya un grave error de interpretación que estoy cometiendo al realizar las integrales. No estoy rompiendo intencionalmente

Δ K

$\Delta K$ en componentes aquí.

usuario1476176

Está bien, creo que entiendo. Solo está mirando "¿qué sucede (matemáticamente) si integro a lo largo de un eje a la vez?" Estoy de acuerdo en que obtienes esas ecuaciones, pero no creo que sean útiles. No nos dicen nada acerca de cómo se comporta realmente el objeto. Si lo piensas bien, esas 3 ecuaciones sugieren que debería haber 3 componentes independientes de energía, es decir, que la energía es una cantidad vectorial.

Andrés

Otra forma de decirlo es que estás eligiendo una dirección específica, es decir,

d \vec{s}

$d\vec{s}$ , para salpicar

F

$F$ . Pero hay otras dos direcciones que podrías considerar, ya que la curva es ortogonal a un plano en cualquier punto del espacio. Así que también puedes considerar las integrales

\int \vec{F} \cdot {\hat{n}}_{1, 2} (s) d s

$\int \vec{F}\cdot\hat{n}_{1,2}(s)ds$ . Por ejemplo, si considera el movimiento circular uniforme, su

\int F \cdot d \vec{s}

$\int{F}\cdot d\vec{s}$ en realidad desaparece, y son las otras dos integrales las que llevan información sobre las fuerzas. Dado que tiene una partícula puntual, solo hay dos rotaciones físicas, estas corresponden a torques en esas direcciones.

Andrés

Solo para aclarar mi última oración: considere una curva que se mueve en 3D,

\vec{x} (s)

$\vec{x}(s)$ . Ahora considere la curva en un punto específico,

\vec{x} (s_{0})

$\vec{x}(s_0)$ . Llamemos al vector tangente

d \vec{x} (s_{0})

$d\vec{x}(s_0)$ . Hay un plano normal a la curva con base

{\hat{n}}_{1, 2} (s_{0})

$\hat{n}_{1,2}(s_0)$ . Imagina lo que sucede en un pequeño intervalo.

Δ s

$\Delta s$ luego. La curva podría desviarse en la dirección de alguna combinación de

{\hat{n}}_{1, 2} (s_{0})

$\hat{n}_{1,2}(s_0)$ , estos corresponden a dos 'rotaciones' de la curva. Pero ahora imagina intentar 'rotar' la curva en la dirección

d \vec{x} (s_{0})

$d\vec{x}(s_0)$ . Las fuerzas a lo largo de la dirección de la tangente no cambian la dirección.

BMS

Estoy de acuerdo, y ese camino que discutes no es físicamente relevante. En las integrales de trayectoria para esta respuesta, la integración se lleva a cabo sobre la trayectoria de la partícula.

Conservación de Restricciones Matemáticas al derivar Energía y Momento de F=maF=maF=ma

usuario1476176

david z

usuario1476176

david z

Respuestas (5)

usuario121330

steveow

Vacío

usuario1476176

usuario121330

usuario121330

usuario121330

usuario1476176

usuario1476176

usuario121330

usuario121330

usuario1476176

usuario1476176

usuario121330

BMS

usuario1476176

david z

BMS

usuario1476176

BMS

usuario1476176

BMS

usuario1476176

Andrés

Andrés

BMS