Operadores: ¿cómo motivarlos deben ser lineales? ¿Este comentario es una pista? [duplicar]

¿Hay alguna manera de motivar, retrospectivamente, que los observables deben ser representables por

  1. operadores lineales
  2. en un espacio de Hilbert?

Específicamente, parece haber una pista de algo en la respuesta aceptada a esta pregunta . Allí, el autor escribe que

"[...] y dado que estos conmutadores satisfacen la identidad de Jacobi, pueden representarse mediante operadores lineales en un espacio de Hilbert".

  • ¿Es esto cierto? Si un observable puede escribirse como un conmutador (como las tres coordenadas del momento angular), ¿se sigue automáticamente que corresponde a algún operador lineal? En caso afirmativo, ¿cómo / es esto un teorema con un nombre?

Gracias por más sugerencias, y por todas las sugerencias hasta ahora. La mecánica cuántica todavía es realmente extraña para mí, una motivación adicional para uno de los postulados sería editar: es agradable.

Si quieres que te aclare más, por favor dilo.

Esta pregunta: "¿Cómo surgieron los operadores?" parece relacionada, pero la respuesta no ayuda ya que parte de los postulados. Mi pregunta es sobre las posibles motivaciones que uno podría dar para uno de los postulados.

Historial de revisión, parte 1: La pregunta era bastante general antes, también preguntaba "¿de dónde vienen los operadores?", que ya tiene una muy buena respuesta aquí .

Para completar / Historial de revisión, parte 2: Otro enfoque podría ser a través del teorema de Wigner , que cualquier operador de simetría en un espacio de Hilbert es unitario lineal o antiunitario antilineal (y luego uno podría pasar de los operadores de simetría a sus generadores, y descubrir que ellos corresponden a observables). Originalmente, la pregunta también era si esta línea de argumentación funciona también. Pero probablemente, esto esté cubierto en las fuentes históricas, dadas aquí y en los comentarios.

La persona que desarrolló el formalismo matemático de QM fue Von Neumann (Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik). Puede que me equivoque, pero creo que también le dio su nombre al "espacio de Hilbert". Antes de él, las ideas sobre esto eran bastante confusas.
von Neumann formalizó el libro de texto QM de 1930 de Dirac, disponible gratuitamente. Dirac trabajó a partir de analogías de dimensión finita que sugería la mecánica matricial de Heisenberg. La pregunta duplica ¿Cómo surgieron los operadores de la mecánica cuántica? pregunta sobre hsm SE y ¿Cómo surgieron los operadores? en este SE.
@Conifold La segunda de su referencia que mencioné en mi pregunta, indicando por qué no es una respuesta. El primero (todavía estoy leyendo) tiene buenas referencias para el desarrollo histórico. Sin embargo, lo que me hubiera gustado son las motivaciones reales en las que uno podría pensar (modificaré el título de la pregunta). Por favor, no comente después de solo leer el título.
Voy a echar un vistazo al libro de von Neumann de nuevo con seguridad, entonces. Sin embargo, la segunda parte de mi pregunta es muy específica. Espero que alguien sepa a qué se refería la persona. (Y dado que el prefacio del libro de von Neumann lo describe como "históricamente importante, pero desactualizado, incluso podría contener errores", parece probable que no contenga la respuesta).
¿Qué quiere decir con "las motivaciones reales en las que uno podría pensar"? El libro de Dirac está disponible gratuitamente en línea, puede encontrar allí lo que pensó. Sin embargo, extender desde matrices parece bastante motivado, por lo que tendrá que ser mucho más específico en cuanto a lo que quiere decir. En cuanto a la segunda pregunta, la mayoría de los SE tienen políticas de una pregunta por pregunta para permitir respuestas de enfoque y extensión razonables. Debe dividirlo en una pregunta separada.
@Conifold Tienes razón, y la parte de mi pregunta "qué condujo a eso" ya la respondiste en la otra publicación. Realmente interesante, votaría a favor si pudiera. Entonces, probablemente lo mejor sea reducir la pregunta a la segunda parte.
A juzgar por esta pregunta, es posible que desee registrarse en hsm en cualquier caso. Hay un gran botón azul Unirse a esta comunidad en la esquina superior derecha, debería vincularlo automáticamente a sus otras cuentas SE cuando lo presiona.
Si uno considera las teorías probabilísticas generales, por ejemplo, en un enfoque de lógica cuántica (para una introducción básica, consulte, por ejemplo, plato.stanford.edu/entries/qt-quantlog/), lo que significa formalizar la estructura lógica general de las declaraciones probabilísticas sobre los sistemas físicos, uno encuentra una serie de posibilidades hipotéticamente plausibles, entre ellas la equivalente al formalismo espacial de Hilbert. Afaik (de acuerdo con el enlace anterior) no se conoce ninguna explicación elemental que señale esta estructura en particular. Hay otros enfoques similares a la "Teoría cuántica a partir de cinco axiomas razonables" de L. Hardy
@AdomasBaliuka Entonces, ¿esta es solo una de las múltiples formas de 'escribir' la mecánica cuántica? Tal vez los otros sean más fáciles de entender, si este falla para mí :) ¡Gracias!
@KyleKanos Mejor?
@dasWesen no, todavía tienes todo tipo de comentarios ridículos sobre las ediciones realizadas en la publicación. Deshágase de ellos por completo haciendo un conjunto cohesivo de declaraciones, entonces seré feliz.
@dasWesen cualquier cosa que se te ocurra es solo una forma de escribirlo. Las posibilidades a las que me refería no describen las estadísticas de los experimentos cuánticos. Una de las posibles estructuras lógicas es la mecánica cuántica real, basada en espacios de hilbert reales. Tiene propiedades de entrelazamiento complicadas y está completamente descartado por el experimento como una teoría probabilística de los resultados experimentales. Sólo es de interés para los matemáticos. Los experimentos pueden y lo hacen singularizar el formalismo cuántico estándar. Es solo que no tenemos una justificación teórica para esto (que no tiene por qué ser un problema)

Respuestas (1)

Desde el punto de vista físico, es natural suponer que es posible manipular matemáticamente los observables de manera adecuada. Debería ser posible sumarlas, multiplicarlas y escalarlas para obtener nuevos observables. Además, muchas veces es conveniente extender el concepto de observable a objetos complejos para los que también es posible hacer "conjugación compleja" (de forma abstracta, llamada involución).

Los números complejos, o funciones de valores complejos, permiten las manipulaciones anteriores y podrían tomarse como observables (y estos últimos se encuentran en las teorías clásicas). Sin embargo, para describir los sistemas cuánticos, tales observables también deberían ser no conmutativos , ya que los efectos debidos a la no conmutatividad se observan experimentalmente.

Matemáticamente, los objetos con las propiedades anteriores forman un álgebra involutiva , abeliana si conmutan, no abeliana si no. Hay un teorema, de Gelfand y Naimark, basado en una construcción de Gelfand, Naimark y Segal, que dice lo siguiente.

Cada *-álgebra es isomorfa a un álgebra de operadores lineales que actúan sobre un espacio de Hilbert

Por lo tanto, es natural representar los observables cuánticos como operadores lineales. Para observables clásicos (abelianos), el teorema muestra que los operadores en ese caso son operadores de multiplicación, y que las álgebras abelianas también podrían representarse como un álgebra de funciones de valores complejos que actúan en un espacio topológico adecuado. Esta última representación es la que suele elegirse para las teorías clásicas.

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