Ecuación discreta de Langevin

Tenemos la ecuación de Langevin , que describe el movimiento de una partícula en un medio viscoso, dada por

d v d t = − γ v + ζ ( t )

Con las condiciones que

⟨ ζ ( t ) ⟩ = 0

⟨ ζ ( t ) ζ ( t ′ ) ⟩ = Γ d ( t − t ′ )

Y, si hacemos el tiempo discreto, poniendo t = norte τ podemos obtener la relacion

v norte + 1 = a v norte + τ Γ ξ norte

dónde a = ( 1 − τ γ ) con las condiciones

⟨ ξ i ⟩ = 0

⟨ ξ i ξ j ⟩ = d i j

Mi pregunta es que no sabía cómo obtengo la ecuación discreta de la ecuación continua. Yo entiendo el a pero ¿por qué aparece la raíz cuadrada? ¿Qué transformación entre ξ y ζ ¿Debo hacerlo?

Respuestas (1)

La respuesta corta a tu pregunta es ζ ( t ) → Γ τ ξ norte . La razón más fácil para dar la raíz cuadrada es el análisis dimensional. ζ es dimensional, pero ξ es adimensional, por lo que usar el análisis dimensional en las ecuaciones de varianza te dará la raíz cuadrada.

Para deducir esto, debes pensar en cómo se discretizan las ecuaciones diferenciales. Trabajando este procedimiento, se obtiene v ( t ) → v norte , ζ ( t ) → ζ norte , d v d t → v norte + 1 − v norte τ , y d ( t − t ′ ) → 1 τ d i j . El 1 τ puede recordarse en función de consideraciones dimensionales, o puede integrar/sumar ambos lados para derivarlo correctamente. Ahora, simplemente conecte estos y encuentre la relación entre ζ norte y ξ norte .

Ahora entiendo lo que acabas de decir. No hice ninguna corrección en el delta de Dirac cambiando a un delta de Kronecker. De esta manera la transformación correcta es ζ ( t ) → Γ τ ξ norte . Esto es solo por la τ sobre el paso de la derivada a un número racional. ¡Ayudó mucho! ¡Gracias!
Perdón por mi error tipográfico, tienes razón sobre el ζ transformación.
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