Relación entre diferenciación en dos marcos

En la sección 10.3 de Principios de la aerodinámica de fluidos ideales de Karamcheti, escribe lo siguiente:

Denotamos por k 1 un marco de referencia fijo con respecto al cuerpo en movimiento. Denotaremos con el subíndice 1 todas las medidas y operaciones realizadas con respecto al marco k 1 . El marco de referencia fijo en el espacio se denotará por k , y las medidas y operaciones realizadas con respecto a k se denotará sin ningún subíndice.
Ahora establecemos la conexión entre las descripciones en los dos marcos (Fig. 10.1). desde k 1 se traslada con una velocidad tu ( t ) con respecto a k tenemos, asumiendo que los dos marcos son coincidentes en el tiempo cero,

r 1 = r 1 ( r , t ) = r − ∫ 0 t tu ( τ ) d τ
t 1 = t 1 ( r , t ) = t
⋮
Las diversas operaciones diferentes en los dos marcos están relacionadas de la siguiente manera:

∇ = ∇ 1
∇ 2 = ∇ 1 2
∂ ∂ t = ∂ t 1 ∂ t ∂ ∂ t 1 + ∂ r 1 ∂ t ∙ ∇ 1

¿Alguien puede explicar/derivar la última fórmula? Se asemeja al derivado material (también conocido como derivado sustancial o total), pero Karamcheti generalmente denota el derivado material como D D t . Puedo subir una imagen de la Fig. 10.1 si es necesario.

Respuestas (1)

Solo asume una cantidad Φ que se puede representar en ambos sistemas de coordenadas , - la referencia (sin índice) y el marco móvil (índice 1) - y observe cómo cambia.

Si consideramos la cantidad Φ ( r 1 , t 1 ) en un marco móvil con posición r 1 y tiempo t 1 y preguntarnos cómo cambia con respecto al marco de referencia con variables r y t tenemos que tratar las dos variables en el marco móvil como dependientes del marco de referencia r 1 ( r , t ) y t 1 ( t ) .

Si nos fijamos en el cambio de la cantidad Φ en el tiempo, que es estrictamente una derivada parcial y no una derivada total, ya que la cantidad también puede variar en el espacio según su ubicación r

∂ Φ ( r 1 , t 1 ) ∂ t = ∂ Φ [ r 1 ( r , t ) , t 1 ( t ) ] ∂ t = ∂ Φ ( r , t ) ∂ t .

Usando la regla de la cadena obtenemos

∂ Φ ∂ t = ∑ i ∈ D ∂ Φ ∂ r 1 i ∂ r 1 i ∂ t ⏟ ∂ r ∂ t ⋅ ∇ 1 Φ + ∂ Φ ∂ t 1 d t 1 d t .

¿Diferencial parcial o total?

El diferencial total d se usa para cantidades que son solo una función de una variable ( univariante ) mientras que la derivada parcial ∂ se usa para funciones de múltiples variables ( multivariante ) donde mantiene fijas todas las demás variables mientras cambia una.

Las derivadas parciales pueden generar confusión aquí, ya que hay dos capas de parámetros. tenemos la funcion Φ que es una función de dos parámetros r 1 y t 1 en el marco móvil que son nuevamente funciones de los dos parámetros en el marco de referencia r y t . ¡Así que toda derivada es de hecho sólo una derivada parcial! Para t 1 = t la notación anterior sería contradictoria ya que el último término degeneraría en ∂ Φ ∂ t que tiene un significado diferente al de la primera derivada parcial en el tiempo: los diferentes términos se mantienen constantes durante la diferenciación. r siempre es constante pero r 1 o t 1 como un todo podría ser así.

Más precisamente, habría que escribir qué términos se mantienen constantes durante la derivación

∂ Φ ( r = C o norte s t , t ) ∂ t = ∑ i ∈ D ∂ Φ [ r 1 ( r = C o norte s t , t ) , t 1 ( t ) = C o norte s t ] ∂ r 1 i ∂ r 1 i ∂ t + ∂ Φ [ r 1 ( r , t ) = C o norte s t , t 1 ( t ) ] ∂ t 1 d t 1 d t .

Como esto es demasiado complicado para escribir muchas derivaciones, descuide que la cantidad también puede cambiar en el espacio y escriba la primera derivada en el tiempo con un diferencial total d o con el derivado material D en lugar del parcial.

¡gracias! ¿Debería Karamcheti haber usado el guión d ( d ) como lo hizo en lugar del símbolo parcial ( ∂ ) en la última fórmula? Porque d Φ d t ≠ ∂ Φ ∂ t ...¿bien?
Cambié la derivación a la nomenclatura de Karamcheti y la simplifiqué. El diferencial total d se usa para cantidades que son solo una función de una variable ( univariante ) mientras que la derivada parcial ∂ se usa para funciones de múltiples variables ( multivariante ) donde mantiene fijas todas las demás variables mientras cambia una. Estrictamente hablando, la derivada debe ser parcial, ya que puede variar para diferentes puntos en el espacio, pero a menudo en la literatura se escribe como la derivada total.
Agregué una explicación a qué términos se mantienen constantes. La forma en que Karamcheti lo ha escrito es matemáticamente correcta pero algo ambigua y poco clara. Generalmente los autores usan la derivada total que matemáticamente hablando estrictamente no es correcta pero es menos ambigua.
¡Gracias por la explicación adicional! En el segundo término de la última ecuación, ¿cómo puedes variar r 1 ( r = C o norte s t , t ) mientras se mantiene t 1 ( r = C o norte s t , t ) = C o norte s t ? Esto me parece una contradicción.
De nada y gracias por la edición. Fue un error de copiar y pegar ahora debería estar bien. Además en este caso solo necesitamos t 1 ser una función de t y no r también.
Tomando la derivada parcial wrt t , ¿no está dando a entender que TODAS las demás variables se mantienen constantes, incluidas r 1 . Entonces el primer término debe ser cero dejando solo el segundo término. Al permitir que todas las variables cambien, ¿no estás tomando la derivada total? Si no has visto esto , tiene una de las mejores explicaciones que he visto sobre derivados.
Tienes razón, mantienes todas las demás variables constantes. La única otra variable en este caso es r (!)- r 1 y t 1 son reparametrizaciones . Los dos sistemas, móvil y de referencia, son como dos sistemas de coordenadas que ha desplazado y rotado pero que aún se encuentran en el mismo plano, son dependientes, simplemente los expresa de manera diferente. r 1 es una función de t : si varías t también r 1 cambios: nunca puede mantener uno constante mientras el otro no cambia. ¡El sistema está suficientemente descrito por dos parámetros!
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