¿Qué significa la notación del subíndice detrás de los corchetes en el diferencial?

El subíndice 'inercial' significa 'en un marco interior' (piense en 'como lo ve un observador que no acelera'). El subíndice cuerpo significa 'en el marco del cuerpo giratorio'.

Por ejemplo (usando vectores base cilíndricos$\hat{z}, \hat{r},\hat{\varphi}$):

Digamos que la tierra gira en sentido antihorario con${\boldsymbol \omega} = \omega\hat{z}$. Y hay un objeto inmóvil en${\boldsymbol r}= r \hat{r}$. El objeto está inmóvil, por lo que para un observador inercial:

$$\left(\frac{\text d \mathbf{r}}{\text d t}\right)_{\rm inertial}=0$$

Sin embargo, un observador en la Tierra debería ver el objeto moviéndose en el sentido de las agujas del reloj a una velocidad$\omega r$, y de hecho:

$$\left(\frac{\text d \mathbf{r}}{\text d t}\right)_{\rm body} =\left(\frac{\text d \mathbf{r}}{\text d t}\right)_{\rm inertial}-{\boldsymbol \omega}\times{\boldsymbol r}= -\omega r \hat{\varphi}$$