¿Cuál es la definición de momento angular en un sistema de dos cuerpos?

El momento angular$\vec{L}$y par$\vec{\tau}$ambos dependen de la elección del origen. Pero la relación entre ellos no depende de la elección de la coordenada. El momento angular no es necesariamente una constante en el tiempo, su tasa de cambio es igual al par.

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \vec{\tau}.$$

Veamos cómo se conserva esta relación en el origen del cambio:

En el cuadro A:

$$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p};\\ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F};\\ $$

La tasa de cambio del momento angular:

$$\frac{d\vec{L}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \vec{r} \times \vec{p} \right) = \vec{v}\times\vec{p} +\vec{r}\times \frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{\tau}.$$

Digamos que movemos el origen a$\vec{R}$(un vector constante), tal que$\vec{r} \to \vec{r}' = \vec{r} + \vec{R}$. Ambos$\vec{L}$y$\vec{\tau}$se modifican de acuerdo con el movimiento del origen:

En el marco B:

$$\vec{L}_B = \left(\vec{r} + \vec{R} \right) \times \vec{p} \ne \vec{L};\\ \vec{\tau}_B = \left( \vec{r} + \vec{R} \right) \times \vec{F} \ne \vec{\tau};\\ $$

Pero la tasa de cambio de la relación del momento angular con el par es la misma:

$$\frac{d\vec{L}_B}{dt} = \frac{d}{dt} \left\{ (\vec{r} + \vec{R}) \times \vec{p} \right\} \\ = \vec{v}\times\vec{p} + (\vec{r} +\vec{R} )\times \frac{d\vec{p}}{dt} = (\vec{r} +\vec{R} ) \times \vec{F} = \vec{\tau}_B.$$

Desde$\vec{R}$es un vector constante,$\frac{d\vec{R}}{dt} = 0$.

De muchos cuerpos,$\vec{L}$y$\vec{\tau}$son ambos una suma vectorial de cada momento angular o momento de torsión individual. Y la relación entre la tasa de cambio del momento angular total y el par total es la misma.

Así que tienes dos objetos cada uno con impulso$\boldsymbol{p}_1 = m_1 \boldsymbol{v}_1$y$\boldsymbol{p}_2 = m_2 \boldsymbol{v}_2$. El momento angular se define a partir de las posiciones del cuerpo como$\boldsymbol{L}_1 = \boldsymbol{r}_1 \times \boldsymbol{p}_1$y$\boldsymbol{L}_2 = \boldsymbol{r}_2 \times \boldsymbol{p}_2$, todos definidos a partir de un origen común.

Juntos obtienen el impulso total como la suma de las partes individuales

$$\begin{aligned} \boldsymbol{p} & = \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{p}_2 & \boldsymbol{L} & = \boldsymbol{L}_1 + \boldsymbol{L}_2 \end{aligned}$$

Ahora no está claro cuál es la cinemática de los dos cuerpos, lo que conduce a más simplificaciones. Por ejemplo, si los dos cuerpos están en órbita uno alrededor del otro, ambos giran alrededor de un centro bariárico común definido por

$$\boldsymbol{r}_C = \frac{ m_1 \boldsymbol{r}_1 + m_2 \boldsymbol{r}_2 }{m_1 +m_2}$$

Ahora descomponga cada posición como$\boldsymbol{r}_1 = \boldsymbol{r}_C + \boldsymbol{d}_1$y$\boldsymbol{r}_2 = \boldsymbol{r}_C + \boldsymbol{d}_2$y tenga en cuenta que para que el baricentro sea correcto debe tener$m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 = 0$.

Si orbitan entre sí, entonces comparten una velocidad de rotación común.$\boldsymbol{\omega}$sobre el baricentro, y la cinemática es la siguiente:

$$\begin{aligned} \boldsymbol{v}_1 &= \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1 & \boldsymbol{v}_2 &= \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2 \end{aligned}$$

Ahora toma el impulso total

$$\require{cancel} \begin{aligned} \boldsymbol{p} & = m_1 \boldsymbol{v}_1 + m_2 \boldsymbol{v}_2 \\ & = m_1 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1) + m_2 ( \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2) \\ & = (m_1 + m_2) \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \cancel{(m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 )} \\ & = (m_1 + m_2)\,\boldsymbol{v}_C \end{aligned}$$

Y el momento angular total sobre el baricentro

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L}_C & = \boldsymbol{d}_1 \times \boldsymbol{p}_1 + \boldsymbol{d}_2 \times \boldsymbol{p}_2 \\ & = \boldsymbol{d}_1 \times m_1 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_1) + \boldsymbol{d}_2 \times m_2 (\boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_2) \\ & = \cancel{ ( m_1 \boldsymbol{d}_1 + m_2 \boldsymbol{d}_2 )}\times \boldsymbol{v}_C + \boldsymbol{d}_1 \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_1) + \boldsymbol{d}_2 \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_2) \\ & = \mathbf{I}_1 \boldsymbol{\omega} + \mathbf{I}_2 \boldsymbol{\omega} = ( \mathbf{I}_1 + \mathbf{I}_2 ) \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$

dónde$\mathbf{I}_i$es un tensor de momento de inercia de masa de 3 × 3 derivado de algún truco matemático al factorizar$\boldsymbol{\omega}$de$\boldsymbol{d}_i \times ( \boldsymbol{\omega}\times \boldsymbol{d}_i)$.

Ahora para transferir el momento angular al origen haces lo siguiente

$$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{L}_C + \boldsymbol{r}_C \times \boldsymbol{p}$$

Lo que se conserva aquí es$\boldsymbol{L}_C$no solo en magnitud, sino también en dirección y también$\boldsymbol{p}$ya que no hay fuerzas externas presentes. Como resultado$\boldsymbol{L}$se conserva también. Siendo una condición que$\boldsymbol{r}_C \times \boldsymbol{v}_C = 0$.

para cada cuerpo$\boldsymbol{L}_i = \boldsymbol{d}_i \times m_i ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{d}_i )$se conserva si$\boldsymbol{\omega}\cdot \boldsymbol{d}_i=0$.