Fórmula de producto cruzado vectorial sin segundo término (Spiegel, Theoretical Mechanics)

Lo que estás viendo allí es una ecuación de operador . Lo que significa es que las dos operaciones en cada lado de la ecuación tienen el mismo efecto en cualquier vector$\mathbf{A}$:

$$D_F \mathbf{A} = D_M \mathbf{A} + \pmb{\omega} \times \mathbf{A}.$$ Por analogía, si tenemos dos funciones$f$y$g$, Diciendo que$f = g$es una forma más compacta de decir$f(x) = g(x)$para todos$x$.

$\newcommand{\e}{\boldsymbol=}$ $\newcommand{\m}{\boldsymbol-}$ $\newcommand{\x}{\boldsymbol\times}$

Dados dos vectores$\:\boldsymbol\omega\:$y$\:\mathbf x\:$representado por sus coordenadas cartesianas

$$\begin{equation} \boldsymbol\omega\e \begin{bmatrix} \omega_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix}\qquad \texttt{and} \qquad \mathbf x\e \begin{bmatrix} x_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{01}\label{01} \end{equation}$$ su producto exterior (cruz) es $$\begin{equation} \boldsymbol\omega\x\mathbf x\e \begin{bmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_1 & x_2 & x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \e \begin{bmatrix} \omega_2 x_3\m \omega_3 x_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_3 x_1\m \omega_1 x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \omega_1 x_2\m \omega_2 x_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \e \begin{bmatrix} \hphantom{\m} 0 & \m \omega_3 & \hphantom{\m}\omega_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{\m}\omega_3 & \hphantom{\m} 0 & \m\omega_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \m\omega_2 & \hphantom{\m}\omega_1 & \hphantom{\m}0 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ x_3 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{02}\label{02} \end{equation}$$ Entonces es razonable usar el símbolo$\:\boldsymbol\omega\x\:$para el operador lineal (transformación) representado por un$\:3\times 3\:$matriz antisimétrica $$\begin{equation} \boldsymbol\omega\x \boldsymbol\equiv \begin{bmatrix} \hphantom{\m} 0 & \m \omega_3 & \hphantom{\m}\omega_2 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \hphantom{\m}\omega_3 & \hphantom{\m} 0 & \m\omega_1 \vphantom{\dfrac{a}{b}}\\ \m\omega_2 & \hphantom{\m}\omega_1 & \hphantom{\m}0 \vphantom{\dfrac{a}{b}} \end{bmatrix} \tag{03}\label{03} \end{equation}$$

$=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!=\!$

Relacionado 1: Velocidad en un marco de referencia giratorio .

Relacionado 2: Producto vectorial en un espacio-tiempo de Minkowski de 4 dimensiones .

Las respuestas ya son suficientes, por lo que quería ofrecer otro uso de la$\boldsymbol{r}\times$término.

Encuentre el momento de masa del tensor de inercia sobre el origen de una masa puntual$m$situado en$\boldsymbol{r}$.

Hay dos fórmulas para esto, y ambas producen el mismo resultado.

1. Usar

   $$\mathrm{I}_0 = -m [\boldsymbol{r} \times] [\boldsymbol{r} \times] = -m \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{bmatrix}$$

2. Usar

   $$\mathrm{I}_0 = m \left( \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{r} - \boldsymbol{r} \odot \boldsymbol{r} \right) = m \left( \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}^\top \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}^\top \right)$$

Si haces las matemáticas, ambos dan como resultado

$$\mathrm{I}_0 = m \begin{bmatrix} y^2+z^2 & -x y & -x z\\ -x y & x^2+z^2 & - y z \\ -x z & -y z & x^2+y^2 \end{bmatrix}$$

Mi preferencia es usar$[\boldsymbol{r}\times]$notación porque mantiene evidente la conexión con los productos cruzados y se codifica fácilmente en la programación.

Lo anterior produce el teorema del eje paralelo en 3D, desde el centro de masa C hasta el origen 0 como

$$\mathrm{I}_0 = \mathrm{I}_c - m [ \boldsymbol{c}\times][\boldsymbol{c}\times]$$

Lo anterior tiene una conexión directa si el momento angular alrededor de un punto de pivote que es

$$\begin{aligned} \boldsymbol{L}_0 & = \boldsymbol{L}_c + \boldsymbol{c} \times m \boldsymbol{v}_c \\ & = \mathrm{I}_c \boldsymbol{\omega} + \boldsymbol{c} \times m ( \boldsymbol{\omega} \times \boldsymbol{c} ) \\ & = \mathrm{I}_c \boldsymbol{\omega} - m\, \boldsymbol{c} \times (\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{\omega}) \\ & = \mathrm{I}_0 \boldsymbol{\omega} \end{aligned}$$

Además, al construir la matriz de inercia espacial de 6 × 6, también usa este término

$$\boldsymbol{I} = \begin{Bmatrix} m \boldsymbol{1} & -m [ \boldsymbol{c} \times] \\ m [\boldsymbol{c} \times] & \mathrm{I}_c - m [\boldsymbol{c}\times][\boldsymbol{c}\times] \end{Bmatrix}$$

Ahora volviendo a tomar derivadas en marcos giratorios, esto se hace con álgebra espacial con el siguiente operador

$$\mathbf{v} \times = \begin{Bmatrix} [\boldsymbol{\omega} \times & [\boldsymbol{v}\times] \\ [0] & [\boldsymbol{\omega}\times] \end{Bmatrix}$$

Entonces, la aceleración debida al movimiento del eje articular$\mathbf{s}$se calcula con

$$\mathbf{a} = \mathbf{v} \times \mathbf{s} \,\,\dot{q}$$

Como puede ver, esta notación tiene un amplio uso en robótica y en todos los niveles de dinámica de cuerpos rígidos.