¿Qué significa la frase "la masa está protegida por una simetría"?

Significa protección de las correcciones radiativas. Si integra correcciones de bucle a la masa, a una escala de momento virtual$\Lambda$, para un Lagrangiano genérico obtendrías contribuciones del orden de esa escala. ¿Y qué si observas$m<<\Lambda$? Bueno, si hay una simetría en la teoría que garantiza que las correcciones perturbativas a la masa desaparecerán, entonces dices que la masa está protegida por la simetría, problema resuelto. De lo contrario, tienes que explicar por qué$m<<\Lambda$.

Hay dos maneras en que esto puede suceder. La trivial es si la teoría tiene cierta invariancia de calibre, en cuyo caso un término de masa simplemente no es invariante de calibre y, por lo tanto, nunca aparecerá en ninguna corrección de orden superior. Hay complicaciones si rompe esa simetría y luego la combina con algún otro campo (por ejemplo, transición electrodébil o BCS).

La posibilidad más compleja es a través del teorema de Goldstone. Establece que si rompe alguna simetría continua (global), existirán excitaciones sin masa. La versión de simetría rota de ese Lagrangiano a menudo parecerá muy compleja, y no será obvio que los diagramas de alto orden conspirarán para cancelar y no producir una corrección radiativa de la masa desnuda.

Concretamente, considere una red cristalina. La red rompe la invariancia traslacional y se obtienen fonones como el bosón de Goldstone. Además, se garantiza que estos tienen una relación de dispersión que pasa por cero. Intuitivamente, la razón es que uno puede aplicar una modulación de longitud de onda muy larga a los átomos, y no ejercerán un gran potencial entre sí, por lo que habrá muy poca fuerza restauradora.

Un ejemplo más interesante es en QCD, donde si los quarks no tuvieran masa, entonces habría una simetría quiral exacta. Si fuera así, entonces el$\pi$-mesones, que son los bosones de Goldstone de romper esa simetría, no tendrían masa. Sin embargo, los quarks no carecen del todo de masa (los quarks desnudos son del orden de unas pocas decenas de MeV) y, por lo tanto, la falta de masa de$\pi$-los mesones no están del todo protegidos --- pero todavía son mucho menores que la escala "natural" de QCD confinado, que es del orden de un protón.

Además de los casos que ha mencionado Genneth,

• Bosones de Goldstone: cuya masa cero está protegida por la simetría rota
• Invariancia de calibre: donde los fermiones quirales cargados no pueden tener una masa por invariancia de calibre (conservación de carga)

Tengo que agregar los siguientes casos, que hacen la lista completa:

• Supersimetría: (respuesta del usuario 1631) Esta es la afirmación de que una partícula escalar está relacionada por supersimetría con un fermión cargado necesariamente sin masa. El fermión debe ser sin masa, el escalar (ausente de supersimetría) no tiene por qué serlo, pero para tener supersimetría, el escalar termina sin masa.
• Aplicación de la simetría quiral: esta es la única nueva aquí.

El último es un poco confuso, porque no es lo mismo que la simetría quiral rota por el condensado de quarks QCD que hace que los piones sean ligeros. La ruptura de la simetría quiral por el condensado de quarks QCD es solo una cosa ordinaria de Goldstone, y los piones son bosones de Goldstone.

La aplicación de la simetría quiral es la declaración de que requiero que el Lagrangiano de un fermión sea invariante bajo rotaciones de las quiralidades izquierda y derecha en direcciones opuestas. El término de masa de una ecuación de Dirac no es invariante bajo esto, porque el término de masa produce una quiralidad izquierda a partir de una quiralidad derecha con una fase definida (usted arregla esta fase haciendo m real y positiva).

Entonces, para hacer una ecuación de Dirac (con dos quiralidades) sin masa, impone simetría quiral, lo que evita que las dos quiralidades se conviertan entre sí. Esta simetría puede ser una simetría calibrada, en cuyo caso este es un ejemplo de invariancia de calibre --- la conservación de la carga no permite que los dos se inviertan entre sí --- pero también puede ser una simetría no calibrada, y luego simplemente estás forzando la masa a cero para imponer una simetría.

Esto es confuso porque hay una tendencia en la física de altas energías a escribir todos los fermiones en forma de Dirac, porque la gente suele memorizar las fórmulas de matriz de Dirac, no las fórmulas de Weyl, y las fórmulas de Dirac se generalizan a dimensiones superiores más fácilmente. Entonces, cualquier fermión quiral de 2 componentes se representa como dos componentes de un espinor de Dirac, pero con una simetría quiral adicional que desacopla los otros 2 componentes. Los otros 2 componentes no son físicos --- no están allí --- pero la forma del Lagrangiano hace que la condición sin masa provenga de la simetría quiral.

Este es el sentido en el que aparece más el término "masa protegida por una simetría" --- cuando los términos de masa para una carga (global o de calibre) que lleva fermión no están permitidos debido a su naturaleza de dos componentes. No es una buena manera de decirlo, es mejor tener solo 2 componentes en la cabeza y considerarlo prohibido solo por la conservación de la carga, no por una simetría quiral, pero desafortunadamente la gente usa el lenguaje de simetría en este caso todo el tiempo. .

Nima da una mejor explicación en este video que podré en formato escrito aquí. La porción relevante comienza aproximadamente a los 20 min en

http://streamer.perimeterinstitute.ca/Flash/c53bd5c4-4108-489c-b43b-941f06c601d1/viewer.html

junto con algunos otros comentarios interesantes.