¿Cuál es la diferencia entre TμνTμνT^\mu{}_\nu y TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Question

¿Cuál es la diferencia entre TμνTμνT^\mu{}_\nu y TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Madera

Entiendo por qué el orden horizontal es importante para los índices en la misma posición vertical, por ejemplo:

T (V_{(1)}, V_{(2)}) = T_{m v} V_{(1)}^{m} V_{(2)}^{v} \neq T_{v m} V_{(1)}^{m} V_{(2)}^{v} = T (V_{(2)}, V_{(1)})

$T\left(V_{(1)},V_{(2)}\right) = T_\color{red}{\mu\nu}V^\mu_{(1)}V^\nu_{(2)} \neq T_\color{red}{\nu\mu}V^\mu_{(1)}V^\nu_{(2)} = T\left(V_{(2)},V_{(1)}\right)$

Pero no entiendo por qué $T^\mu{}_\nu \neq T_\nu{}^\mu$ en general. A mi modo de ver, ambos son mapas lineales de un vector y un vector dual a $\mathbb{R}$ . El orden horizontal de los índices no debería importar porque la posición vertical ya especifica si se refiere al índice vectorial o al índice vectorial dual:

T (ω, V) = T^{m}_{v} ω_{m} V^{v} = T_{v}^{m} ω_{m} V^{v} = T (ω, V)

$T(\omega,V) = T^\color{red}\mu{}_\color{red}\nu \omega_\mu V^\nu = T_\color{red}\nu{}^\color{red}\mu \omega_\mu V^\nu = T(\omega,V)$

usuario4552

Solo para aclarar, asumo que no tiene en mente el tensor de energía de estrés; eso fue lo que asumí inicialmente de su notación.

Madera

@BenCrowell Correcto. Debería haber sido más cuidadoso con la notación. Pero

T^{μ}_{ν} \neq T_{ν}^{μ}

$T^\mu{}_\nu \neq T_\nu{}^\mu$ para el tensor estrés-energía también, ¿verdad?

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¿Cuál es la diferencia entre TμνTμνT^\mu{}_\nu y TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Solo para aclarar, asumo que no tiene en mente el tensor de energía de estrés; eso fue lo que asumí inicialmente de su notación.
@BenCrowell Correcto. Debería haber sido más cuidadoso con la notación. Pero $T^\mu{}_\nu \neq T_\nu{}^\mu$ para el tensor estrés-energía también, ¿verdad?

cris · Answer 1

$T^\mu{}_\nu$ y $T_\nu{}^\mu$ son ambos mapas de un vector y un vector dual a $\mathbb R$ , verdadero. Pero no son necesariamente el mismo mapa entre sí.

Matemáticamente, puedes ver esto considerando la diferencia explícitamente:

T^{m}_{v} - T_{v}^{m}

$T^\mu{}_\nu-T_\nu{}^\mu$

Puede usar la métrica para subir/bajar uno de los índices, como $T^\mu{}_\nu=g_{\rho\nu}T^{\mu\rho}$ . Si haces esto para ambos, obtienes:

T^{m}_{v} - T_{v}^{m} = {gramo}_{ρ v} (T^{m ρ} - T^{ρ m})

$T^\mu{}_\nu - T_\nu{}^\mu=g_{\rho\nu}\left(T^{\mu\rho}-T^{\rho\mu}\right)$

Lo que demuestra que la razón $T^\mu{}_\nu\ne T_\nu{}^\mu$ es lo mismo que por qué $T^{\mu\nu}\ne T^{\nu\mu}$ en general.

JG · Answer 2

La diferencia es $(T^{\mu\rho}-T^{\rho\mu})g_{\rho\nu}$ .

Quise decir conceptualmente, no literalmente. $T^\mu{}_\nu - T_\nu{}^\mu$ . Pero ahora estoy intrigado. ¿De dónde salió esa expresión? ¿Te importaría desarrollar tu respuesta?
@Wood Contraction que sube o baja un índice no cambia el orden de los índices. Para tensores no simétricos, esta es la única forma de aclarar ciertas diferencias. Para tensores simétricos, a veces verá los índices en la misma posición horizontal porque el orden deja de importar. El ejemplo obvio es contraer dos métricas para obtener un delta de Kronecker.

¿Cuál es la diferencia entre TμνTμνT^\mu{}_\nu y TνμTνμT_\nu{}^\mu?

Madera

usuario4552

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cris

JG

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