Algunas dudas de principiante sobre los tensores

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Algunas dudas de principiante sobre los tensores

MNRaia

Tengo una pregunta sobre los tensores. De acuerdo, se podría decir que esta pregunta encajaría mejor en Math.StackExchange, pero aquí es más cómodo. De todos modos:

Un vector, como todos aprendimos en primer año, podría escribirse de esta forma:

V = \sum A_{i} {mi}_{i}

$\begin{equation} \textbf{V} = \sum A_{i} \textbf{e}_{i} \end{equation}$

Vale, la cosa empieza más "rica" con el álgebra lineal cuando, debido al formalismo, ya se podía decir la diferencia entre un vector contravariante y un vector covariante . Respectivamente:

V = \sum A^{i} {mi}_{i}, V = \sum A_{i} {mi}^{i}

$\begin{equation} \textbf{V} = \sum A^{i} \textbf{e}_{i} , \textbf{V} = \sum A_{i} \textbf{e}^{i} \end{equation}$

Si eres bastante curioso puedes llegar al estudio de los tensores. Siguiendo la misma "idea", ahora se podría escribir un tensor (de rango 3) con la misma "forma" de un vector. Un tensor contravariante y un tensor covariante . Respectivamente:

T = \sum \sum \sum T^{i j k} {mi}_{i} {mi}_{j} {mi}_{k}, T = \sum \sum \sum T_{i j k} {mi}^{i} {mi}^{j} {mi}^{k}

$\begin{equation} \textbf{T} = \sum \sum \sum T^{ijk} \textbf{e}_{i}\textbf{e}_{j}\textbf{e}_{k},\\ \textbf{T} = \sum \sum \sum T_{ijk} \textbf{e}^{i}\textbf{e}^{j}\textbf{e}^{k} \end{equation}$

Pregunta:

Lo primero que aprendemos cuando empezamos a hablar de tensores, en una perspectiva de álgebra lineal, es el producto tensorial. Por eso sé que lo que he escrito arriba es, de hecho:

T = \sum \sum \sum T^{i j k} {mi}_{i} \otimes {mi}_{j} \otimes {mi}_{k}

$\begin{equation} \textbf{T} = \sum \sum \sum T^{ijk} \textbf{e}_{i}\otimes \textbf{e}_{j}\otimes \textbf{e}_{k} \end{equation}$

El punto es que todavía no entendía la idea de que $\textbf{e}_{i}\otimes \textbf{e}_{j}$ podría ser una forma fundamental de pensar en los productos internos, por ejemplo, o incluso en lo que $\textbf{e}_{i}\otimes \textbf{e}_{j}\otimes \textbf{e}_{k}$ realmente realmente significa en este concepto; alguien puede ayudar con esto?. Me refiero a "producir tensores" en la forma anterior.

MNRaia

Hola Countto10. Entonces, soy brasileño y la mayoría de mis fuentes están en portugués. Pero, libros como: Marion (mecánica clásica), Hartle (relatividad general); Greub (álgebra lineal) y Hoffman-Kunze (álgebra lineal) son mis fuentes principales.

emilio

Creo que una forma de pensar es que se "comen" entre sí. Ex:

[e_{1} \otimes e_{2}] (e^{1} \otimes e^{2}) = e^{1} (e_{1}) \cdot e^{2} (e_{2})

$[e_1\otimes e_2](e^1\otimes e^2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$ . Ex:

[e^{1} \otimes e^{2}] (e_{1} \otimes e_{2}) = e^{1} (e_{1}) \cdot e^{2} (e_{2})

$[e^1\otimes e^2](e_1\otimes e_2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$

emilio

También creo que la contracción es cuando solo alimentas a uno de ellos. Ex:

C (2, 1) (a \otimes b \otimes c, d) = b^{i} (d_{i}) a \otimes c

$C(2,1)(a\otimes b\otimes c,d)= b^i(d_i)a\otimes c$ (nota: no he verificado esto. También usé una notación improvisada ya que no he encontrado la notación real).

emilio

Además, los componentes son

T^{i j k} = T (e^{i} \otimes e^{j} \otimes e^{k})

$T^{ijk}=\mathbf{T}(e^i\otimes e^j \otimes e^k)$ . El

e_{i} \otimes e_{j} \otimes e_{k}

$e_i\otimes e_j \otimes e_k$ están ahí para manejar todos los demás casos (dado que T es multilineal, puede dejar que manejen los otros argumentos posibles para T). A menos que me equivoque.

emilio

Un pensamiento más, tal vez el ejemplo de contracción anterior debería haber sido escrito como

C (2, 4) (a \otimes b \otimes c \otimes d)

$C(2,4)(a\otimes b\otimes c\otimes d)$ , quedarse en tierra tensorial, por así decirlo..

Respuestas (1)

Algunas dudas de principiante sobre los tensores

Hola Countto10. Entonces, soy brasileño y la mayoría de mis fuentes están en portugués. Pero, libros como: Marion (mecánica clásica), Hartle (relatividad general); Greub (álgebra lineal) y Hoffman-Kunze (álgebra lineal) son mis fuentes principales.
Creo que una forma de pensar es que se "comen" entre sí. Ex: $[e_1\otimes e_2](e^1\otimes e^2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$ . Ex: $[e^1\otimes e^2](e_1\otimes e_2)=e^1(e_1)\cdot e^2(e_2)$
También creo que la contracción es cuando solo alimentas a uno de ellos. Ex: $C(2,1)(a\otimes b\otimes c,d)= b^i(d_i)a\otimes c$ (nota: no he verificado esto. También usé una notación improvisada ya que no he encontrado la notación real).
Además, los componentes son $T^{ijk}=\mathbf{T}(e^i\otimes e^j \otimes e^k)$ . El $e_i\otimes e_j \otimes e_k$ están ahí para manejar todos los demás casos (dado que T es multilineal, puede dejar que manejen los otros argumentos posibles para T). A menos que me equivoque.
Un pensamiento más, tal vez el ejemplo de contracción anterior debería haber sido escrito como $C(2,4)(a\otimes b\otimes c\otimes d)$ , quedarse en tierra tensorial, por así decirlo..

gentil · Answer 1

debido al formalismo, ahora se podría notar la diferencia entre un vector contravariante y un vector covariante

Esto es incorrecto: covariante (respectivamente contravariante) no se refiere al vector, sino a las propiedades de transformación de los componentes de dicho vector sobre alguna base.

un vector $\mathbf{v}$ es un elemento de un espacio vectorial $V$ . Un co-vector es un mapa de un espacio vectorial en un campo $\alpha\colon V\to\mathbb{F}$ y como tal elemento del espacio vectorial dual $V^*$ . Un tensor de tipo $(r,s)$ es un mapa $\tau\colon V^r\times {V^*}^s\to\mathbb{F}$ .

Dado lo anterior, un producto tensorial de dos tensores $T\colon A\to X$ , $S\colon B\to Y$ es otro mapa lineal definido como

T \otimes S : A \otimes B \to X \otimes Y

$T\otimes S\colon A\otimes B\to X\otimes Y$ tal que

(T \otimes S) (a \otimes b) = T (a) \otimes S (b)

$(T\otimes S)(a\otimes b)=T(a)\otimes S(b)$ como tu elijas

a \in A, b \in B

$a\in A, b \in B$ .

Por linealidad, puede construir productos tensoriales de cualquier tipo.

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